Уравнения Лагранжа второго рода (Уравнения движения СМТ в обобщенных координатах)

Используем следующую форму общего уравнения динамики:

. (1)

Пусть на механическую систему, имеющую m степеней свободы, нало­жены голономные, удерживающие и идеальные связи. Введем в рассмотрение m обобщенных координат q_g (g=1,…,m) и выразим через них радиус-вектор n-й точки:

, . (2)

Варьируя это соотношение, получим:

, . (3)

Подставляя соотношение (3) в соотношение (1) и изменяя порядок суммирования, имеем:

. (4)

Так как все независимы и произволь­ны, то равенство (4) может выполняться только тогда, когда каждый из коэффициентов при равен нулю, поэтому нахо­дим:

. (5)

Эту систему m уравнений запишем в виде:

. (6)

Правая часть соотношения (6) представляет собой обобщенную силу соответствующую обобщенной координате :

. (7)

Преобразуем выражение, входящее в левую часть соотношения (6) следующим образом:

(8)

Учитывая, что радиус-вектор n-й МТ зависит от времени t сложным образом, получим из(2)следующее выражение для ее скорости:

, (9)

где – называется обобщенной скоростью (g = 1, 2,…, m).

Так как множители (g = 1, 2,…, m) зависят только от обобщенных координат и времени t (и не зависят от обобщенных скоростей), то дифференцируя правую и левую часть соотношения (9) по обобщенной скорости , приходим к соотношению:

. (10)

Найдем частную производную скорости по обобщенной координате , учитывая, что обобщенные координаты входят в правую часть равенства (9) через коэффициенты при обобщенных скоростях:

. (11)

Частная производная зависит от времени t явно и через обобщенные координаты , ( ). Вычисляя полную производную по времени от частной производной находим:

. (12)

Сравнивая правые части выражений (11) и (12), замечаем, что

. (13)