Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Уравнения Лагранжа второго рода (Уравнения движения СМТ в обобщенных координатах)




Читайте также:
  1. Grand sissonne owerte без продвижения
  2. Grand sissonne owerte без продвижения
  3. II.Четыре главных средства продвижения
  4. V2:4 Новые религиозные движения и нетрадиционные религии
  5. Автобус как средство передвижения. Организация автобусных туров, их география, известные туроператоры.
  6. Агрегатные состояния вещества. Характер теплового движения в этих состояниях. Особенности теплового движения в различных агрегатных состояниях вещества.
  7. Анализ взаимосвязи прибыли и движения ДС (косвен метод)
  8. Анализ движения денежных средств
  9. Анализ движения денежных средств
  10. Анализ движения денежных средств (прямой метод)

Используем следующую форму общего уравнения динамики:

. (1)

Пусть на механическую систему, имеющую m степеней свободы, нало­жены голономные, удерживающие и идеальные связи. Введем в рассмотрение m обобщенных координат qg (g=1,…,m) и выразим через них радиус-вектор n-й точки:

, . (2)

Варьируя это соотношение, получим:

, . (3)

Подставляя соотношение (3) в соотношение (1) и изменяя порядок суммирования, имеем:

. (4)

Так как все независимы и произволь­ны, то равенство (4) может выполняться только тогда, когда каждый из коэффициентов при равен нулю, поэтому нахо­дим:

. (5)

Эту систему m уравнений запишем в виде:

. (6)

Правая часть соотношения (6) представляет собой обобщенную силу соответствующую обобщенной координате :

. (7)

Преобразуем выражение, входящее в левую часть соотношения (6) следующим образом:

(8)

Учитывая, что радиус-вектор n-й МТ зависит от времени t сложным образом, получим из(2)следующее выражение для ее скорости:

, (9)

где – называется обобщенной скоростью (g = 1, 2,…, m).

Так как множители (g = 1, 2,…, m) зависят только от обобщенных координат и времени t (и не зависят от обобщенных скоростей), то дифференцируя правую и левую часть соотношения (9) по обобщенной скорости , приходим к соотношению:

. (10)

Найдем частную производную скорости по обобщенной координате , учитывая, что обобщенные координаты входят в правую часть равенства (9) через коэффициенты при обобщенных скоростях:

. (11)

Частная производная зависит от времени t явно и через обобщенные координаты , ( ). Вычисляя полную производную по времени от частной производной находим:

. (12)

Сравнивая правые части выражений (11) и (12), замечаем, что

. (13)

Возвращаясь к формуле (8) и подставляя в нее тождества (19) и (13), получаем:

 

. (14)

Учитывая, что

и

приведем последнее равенство к виду:

. (15)

Кинетическая энергия системы определяется формулой:

,

тогда (15) примет вид:

. (16)

Подставляя выражения (7) и (16) в уравнения (6), получим:

. (17)

(17)- уравнения Лагранжа второгорода. Число уравнений Лагранжа второго рода равно числу независимых обобщен­ных координат, т. е. числу степеней свободы этой голономной системы.



Кинетическая энергия системы при подстановке в эти уравнения должна быть предварительно выражена как функция обобщенных скоростей и координат . Это будет квадратичная функция обобщенных скоростей , в коэффициенты которой могут входить обобщенные координаты (в частных случаях кинетическая энергия может быть квадратичной функцией скоростей с постоянными коэффициен­тами). Обобщенные силы тоже могут быть в общем случае функция­ми обобщенных координат , и скоростей . Таким образом, в выражения , и могут входить обобщенные координаты и их производные . Поэтому в выражение войдут уже вторые производные . Следовательно, уравнения Лагранжа второго рода (3.18) представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат .


Дата добавления: 2015-04-21; просмотров: 11; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.012 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты