Работа сил на виртуальных перемещениях, идеальные связи. Принцип виртуальных перемещений

Найдем сумму работ всех сил, действующих на механическую систему на некотором ее виртуальном перемещении. Обозначим ее через dА. Сообщим точкам СМТ виртуальные перемещения и подсчитаем сумму элементарных работ, приложенных к этим МТ сил, на этих перемещениях. По аналогии с выражением суммы элементарных работ сил на действительных перемещениях работу этих сил на виртуальных перемещениях можно записать в виде:

. (1)

Сумма элементарных работ, которые могли бы совершить силы, приложенные к точкам СМТ на ее виртуальном перемещении, называется виртуальной работой.

С работой пассивных сил на виртуальных перемещениях связано понятие идеальных связей.

Связи называются идеальными, если сумма элементарных работ пассивных сил (реакций связей) на любом виртуальном перемещении равняется нулю, т.е.

. (2)

Принцип виртуальных перемещений:

Для равновесия механической системы, на которую наложены стационарные, удерживающие и идеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на СМТ, на любом виртуальном перемещении была равна нулю:

. (3)

Доказательство необходимости:

Для доказательства необходимости принципа предположим, что несвободная СМТ со стационарными, удерживающими и идеальными связями находится в положении равновесия. Тогда каждая точка, входящая в систему, находится в равновесии и, используя принцип освобождаемости от связей, можно записать:

(4)

Сообщив МТ, входящим в СМТ, виртуальные перемещения , умножим скалярно каждое из этих уравнений соответственно на , (n=1,2,…,n) и сложим полученные выражения:

.

Так как связи, наложенные на СМТ, идеальные, то выполняются условия (2) и из предыдущего соотношения получаем уравнение:

.

Доказательство достаточности:

Для доказательства достаточности применим метод от противного. Предположим, что при выполнении условия (3) система не находится в равновесии, и хотя бы одна из ее точек, например первая, пришла в движение. Тогда для этой точки условие типа равновесия выполняться не будет и вместо (4) получим.:

(5)

Сообщив точкам системы виртуальные перемещения , умножим каждое из уравнений (5) на соответствующее , (n=1,2,…,n) и сложим полученные выражения почленно:

.

Так как связи, наложенные на СМТ, идеальные, то выполняются условия (2) и из предыдущего соотношения получаем неравенство:

,

а это противоречит условию (3). Следовательно, наше предположение о том, что при выполнении условия (3) СМТ не находится в равновесии, неверно, т.е. выполнение этого условия является и достаточным для равновесия СМТ. Что и требовалось доказать.