Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Потенциальное силовое поле и силовая функция МТ. Закон сохранения механической энергии




Читайте также:
  1. A. соблюдение законности
  2. D) легальное, регламентированное законом участие.
  3. D) Палата представителей рассматривает проекты законов по всем направлениям внутренней и внешней политики.
  4. II. ВОДОПРОНИЦАЕМОСТЬ ГРУНТОВ, ЗАКОН ЛАМИНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
  5. O Отклик подчиняется нормальному закону распределения.
  6. Автокорреляция остатков модели регрессии. Последствия автокорреляции. Автокорреляционная функция
  7. Альтернативные источники энергии.
  8. Альтернативные способы получения и преобразования энергии.
  9. Альтернативные способы получения электрической энергии.
  10. Анализ влияния параметров двигателя постоянного тока с независимым возбуждением на вид электромеханической и механической характеристик.

Среди сил, действующих на МТ, встречаются силы, зависящие только от положения этой МТ и времени.

Определение: Силовым полем называют часть пространства, в каждой точке которого на МТ действует определенная сила, зависящая от координат МТ и времени.

Определение:Силовое поле считается стационарным, если действующие силы не зависят от времени. Если же силы зависят от времени, то силовое поле называется нестационарным.

Предположим, что существует такая функция координат и времени U(х, у, z, t), частные производные которой по координатам равны проекции силы силового поля на соответствующие координатные оси, т. е.

. (1)

Определение:Функция U(х, у, z, t) называется силовой функцией данного силового поля, а само силовое поле называется потенциальным или консервативным, сила же потенциального силового поля называется потенциальной или консервативной.

Примерами консервативных сил являются сила тяжести, сила упругости и сила всемирного тяготения.

При наличии силовой функции выражение для элементарной работы силы потенциального стационарного силового поля примет вид:

т.е.

dA = dU. (2)

Таким образом, элементарная работа силы в потенциальном стационарном силовом поле равна полному дифференциалу силовой функции.

Полная работа силы на участке от точки В0 до точки В можно выразить следующим образом:

т. е.

= U – U0, (3)

где

.

Следовательно, полная работа силы на каком-либо перемещении МТ равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках перемещения и не зависит от формы траектории, по которой оно совершается, если силовая функция является однозначной.

Из (3) следует, что работа силы в потенциальном стационарном силовом поле по любому замкнутому пути равна нулю, если значение силовой функции в начальной и конечной точках перемещения одинаково, т. е. силовая функция является однозначной.

В случае потенциального силового поля наряду с силовой функцией можно ввести другую функцию, характеризующую запас энергии в данной точке поля – потенциальную энергию МТ в рассматриваемой точке силового поля.

Определение: Потенциальной энергией МТ – П в рассматриваемойточке В силового поля называют работу, которую совершают силы поля, действующие на МТ при перемещении ее из точки В в начальную точку В0, т. е.



или

(4)

На основании введенных соотношений имеем:

. (5)

 

dA = dU = –dП, = U – U0= П0 – П. (6)

Так как силовая функция определяется с точностью до произвольной постоянной, то можно за счет выбора этой произвольной постоянной всегда достигнуть того, чтобы в точке В0(x0,y0,z0) силовая функция обратилась в ноль, т. е.

,

и тогда получим:

П= –U. (7)

Для СМТ, состоящей из n МТ, в потенциальном стационарном силовом поле силовая функция имеет вид:

U=U(х1, y1, z1, х2, y2, z2, ... xn, yn, zn).

Проекции силы, действующей на n-ю точку СМТ, можно представить в виде:

. (8)

Сумма элементарных работ всех сил, действующих на СМТ, определяется по формуле:

или

(9)

Таким образом, сумма элементарных работ сил, действующих на СМТ, потенциального, стационарного силового поля равна полному дифференциалу от силовой функции.

Если вычислить сумму работ сил, действующих на СМТ в этом поле при перемещении СМТ из начального положения (I), в котором имеется силовая функция U0, в положение (II), в котором есть силовая функция U, то:

или



Определение: Потенциальной энергией СМТ – П в рассматриваемом положении называют сумму работ сил поля, действующих на СМТ, которую эти силы совершают при перемещении СМТ из рассматриваемого положения в начальное положение, т. е.

, (10)

где U – значение силовой функции в рассматриваемом положении, U0 – значение силовой функции в начальном положении.

Закон сохранения механической энергии МТ: При движении МТ в стационарном потенциальном силовом поле ее полная механическая энергия остается постоянной величиной.

Доказательство:

Теорема об изменении кинетической энергии МТ (соотношение (1.44))имеет следующий вид:

Если МТ движется в стационарном потенциальном силовом поле, то:

А = ПО – П.

Следовательно,

где h—постоянная величина.

Обозначая через Е полную механическую энергию МТ, состоящую из ее кинетической и потенциальной энергий, получаем:

. (11)

Закон сохранения механической энергии СМТ: полная механическая энергия при движении СМТ в стационарном потенциальном силовом поле внешних и внутренних сил является постоянной величиной

Доказательство:

Теорема об изменении кинетической энергии СМТ имеет вид:

T – T0 = .

Если СМТ движется в стационарном потенциальном силовом поле, то:

= П0 – П,

где П0 и П – потенциальные энергии внутренних и внешних сил, действующих на СМТ в начальный и произвольный моменты времени. Следовательно,

Т – Т0 = П0 – П или T + П = T0 + П0 = h,

где hпостоянная величина.

Обозначая через Е полную механическую энергию СМТ, имеем:

E = T + П = h.

При движении МТ или СМТ в непотенциальном силовом поле, встречающемся в действительности, когда непотенциальность связана с действием сил сопротивления, механическая энергия изменяется, причем она всегда уменьшается на работу сил сопротивления.




Дата добавления: 2015-04-21; просмотров: 17; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2022 год. (0.013 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты