Теорема об изменении кинетического момента СМТ

Запишем теорему об изменении момента количества движения МТ для n-й точки СМТ, учтя, что на нее действуют – равнодействующая всех внешних сил и – равнодействующая всех внутренних сил:

. (n=1,2,...,n)

Просуммировав эти выражения и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получим:

(1)

Используя формулу для главного момента системы сил и учтя свойство внутренних сил, имеем:

, , (2)

где - главный момент всех внешних сил, а - главный момент всех внутренних сил относительно какого-либо центра.

Введем понятие кинетического момента СМТ относительно какого-либо центра О.

Определение: Кинетическим моментом или моментом количества движения СМТ называется геометрическая сумма моментов количества движения МТ, входящих в СМТ, относительно того же центра:

. (3)

Подставив (2) и (3) в (1), получим теорему об изменении кинетического момента СМТ в следующем виде:

. (4)

Теорема: Производная по времени от кинетического момента СМТ относительно какого-либо центра равна главному моменту всех внешних сил, действующих на СМТ, относительно того же центра.

Спроектировав соотношения (4) на оси декартовой системы координат с началом в центре О и учтя связь между моментами силы относительно точки и оси, получим:

(5)

Отсюда следует, что производная по времени от проекции кинетического момента СМТ на какую-либо ось равна проекции главного момента всех внешних сил, действующих на СМТ, на эту ось или сумме моментов всех внешних сил, действующих на СМТ, относительно этой оси.

Следствия:

· Если , то из соотношения (4) следует, что

. (6)

Если главный момент внешних сил, действующих на СМТ, относительно какого-либо центра равен нулю, то кинетический момент СМТ относительно того же центра постоянен по величинеи направлению и равен кинетическому моменту СМТ относительно того же центра в начальный момент времени:

Если (для определенности выбрана ось х), то из первого соотношения (4.25) следует, что

.

Если проекция главного момента всех внешних сил, действующих на СМТ, на какую-либо ось (сумма моментов всех внешних сил относительно какой-либо оси) равна нулю, то проекция кинетического момента на эту ось является постоянной величиной и равняется проекции кинетического момента на эту ось в начальный момент времени