Моменты инерции относительно пучка прямых, тензор инерции

Выбираем систему декартовых координат с началом в центре О.Проведем через начало координат произвольную ось Оl, образующую с осями координат Ох, Оу и Оz соответственно углы

Рис. 28

На основании определения для момента инерции СМТ относительно оси Ol имеем:

. (1)

Для прямоугольного треугольника OD_nB_n можно записать

, (2)

где ,

(3)

Здесь – единичный вектор оси Оl.

Преобразуем соотношение (2), с учетом формулы (3) и соотношения , следующим образом:

(4)

Подставим соотношение (4) в соотношение (1):

(5)

Учтем, что на основании соотношений определений для осевых моментов можно записать:

(6)

где J_xx, J_yy, J_zz – моменты инерции СМТ относительно координатных осей. Величины

(7)

называются произведениями инерции или центробежными моментами инерции СМТ.

С учетом (6) и (7) соотношение (5) примет вид:

(8)

Из равенства (8) следует, что для определения момента инерции СМТ относительно любой оси, проходящей через начало координат О, достаточно знать шесть величин J_xx, J_yy, J_zz, J_xy, J_yz, J_xz и направление этой оси, определяемое косинусами углов a, b, g. Шесть величин J_xx, J_yy, J_zz, J_xy, J_yz, J_xz зависят от положения точки О и от направления координатных осей, так как с их изменением изменяются x_n, y_n, z_n. Указанные величины можно расположить в виде симметричной матрицы:

, (9)

которая называется тензором инерции, элементы этой матрицы называются компонентами тензора инерции.