Эллипсоид инерции, главные оси инерции

Для характеристики распределения моментов инерции СМТ относительно различных осей, проходящих через заданную точку, используется поверхность второго порядка – эллипсоид инерции. Для построения этой поверхности на каждой осиl, проходящей через точку , откладывается вектор , модуль которого равен:

. (1)

Здесь

(2)

Выразим косинусы углов через координаты вектора :

(3)

Подставив в соотношение (2) формулы (3), получим уравнение поверхности второго порядка:

. (4)

Геометрическое место концов вектора располагается на поверхности, которая называется эллипсоидом инерции. Для каждой точки O имеется свой эллипсоид инерции. Эллипсоид инерции для центра масс СМТ называется центральным эллипсоидом инерции. Оси эллипсоида инерции называются главными осями инерции. В общем случае эллипсоид инерции имеет три взаимно перпендикулярные главные оси инерции. Они являются его осями инерции.

Моменты инерции относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции, а относительно главных центральных осей инерции – главными центральными моментами инерции.

Если уравнение эллипсоида инерции отнести к его главным осям Ox', Oy', Oz', то оно примет вид:

, (5)

где x', y', z'– текущие координаты точки, расположенной на эллипсоиде инерции, относительно главных осей инерции; – главные моменты инерции.

Центробежные моменты инерции относительно главных осей инерции равны нулю

.