![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Применение дифференциала в приближенных вычислениях.Рассмотрим для примера функцию от двух переменных, которую будем предполагать дифференцируемой. Мы хотим вычислить эту функцию в точке
Приближенные значения этих чисел запишем в виде конечных десятичных дробей
Таким образом, имеют место приближенные равенства с абсолютными погрешностями приближения, удовлетворяющими неравенствам
Подставив в функцию с абсолютной погрешностью
которую при достаточно малых
Отсюда получаем неравенство
На самом деле это неравенство приближенное, потому что мы получили его, пренебрегая некоторой величиной, правда, значительно меньшей, чем Обратим внимание на тот факт, что конечные десятичные дроби
т. е. чтобы погрешность Из неравенств (2) видно, что вычисления будут наиболее экономными, если в качестве П р и м е р 1. Функция
Поэтому приближенное равенство имеет абсолютную погрешность, которая при малых приращениях
Если требуется, чтобы гарантированная погрешность была меньше
Мы видим, что числа
где
и при этом на вычисление второго слагаемого
П р и м е р 2. Функция имеет абсолютную погрешность
Соответственно относительная погрешность удовлетворяет соотношениям
Мы видим, что при малых П р и м е р 3. Функция
Поэтому приближенное равенство имеет абсолютную погрешность
Соответственно относительная погрешность удовлетворяет соотношениям
Таким образом, при малых Производные высших порядков. Функции: e) f) g) h)
2) Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде
3) Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f: 4) Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как 5) Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формулы: 6)В частности, для производной второго и третьего порядка формула Лейбница принимает вид
|