Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Связь между ними.

Функция у=ƒ(х) называется бесконечно большой при х→х0, если для любого числа М>0 существует число δ=δ(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М. Если ƒ(х) стремится к бесконечности при х→хо и принимает лишь положительные значения, то пишут если лишь отрицательные значения, то . Функция у=ƒ(х), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при х→∞, если для любого числа М>0 найдется такое число N=N(M)>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>N, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М. Коротко:

Функция у=f(х) назівается бесконечно малой при х→x0,если По определению предела функции равенство (17.1) означает: для любого числа ε>0 найдется число δ>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-x0|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|<ε.

Аналогично определяется б.м.ф. при х→хо+0, х→x0-0, х→+∞, х→-∞: во всех этих случаях ƒ(х)→0.

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами α, ß и т. д.

Связь:Если f(х) явл. бесконечно большой функцией при х→хо, то функция 1\ f(х) явл. бесконечно малой при х→хо.

Если f(х), кот. не равна нулю явл. бесконечно малой при х→хо, то функция 1\ f(х) явл. бесконечно большой при х→хо.