Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого

порядку (ЛНДР)

Так називаються рівняння виду



де p(x), g(x), f(x) - задані, безперервні на (a, b) функції.

Відповідне йому рівняння (з нульовою правою частиною)

(8.23)

називається однорідним рівнянням.

Теорема(про структуру загального рішення ЛНДР).Загальний розв‘язок рівняння (8.22) представляється сумою загального розв‘язку відповідного йому однорідного рівняння (8.23) і часткового розв‘язку неоднорідного рівняння (8.22)

. (8.24)

Доведення. Оскільки - загальний розв‘язок однорідного рівняння (8.23), а - частковий розв‘язок неоднорідного рівняння (8.22), то і .

У такому разі

+ ( .

А це означає, що функція є рішенням рівняння (8.22). Тепер необхідно показати, що функція

(8.25)

є загальний розв‘язок рівняння (8.22). Переконаємося, що з розв‘язку (8.25)

можна виділити єдине частковий розв‘язок, якій задовольняє заданим початковим умовам

, (8.26)

Підставляємо ці умови в рішення (8.25), отримаємо систему рівнянь

,

відносно невідомих с₁ і с₂.

Визначником цієї системи

дорівнює значенню вронскіана в точці х = х₀ . Але оскільки і є лінійно незалежними на (a, b), то . А це означає, що система (8.16) має єдиний розв‘язок : , .

Розв‘язок є єдиним частковим розв‘язком рівняння (8.22), який задовольняє початковим умовам (8.26). Теорема доведена.