Приклади. 1). Знайти загальний розв‘язок рівняння .

1). Знайти загальний розв‘язок рівняння .

Запишемо початкове рівняння у виді . Позначимо , тоді або, розділяючи змінні, знаходимо звідки і , тобто . І, нарешті, оскільки , то і .

2). Знайти загальне рішення рівняння .

Позначимо . Тоді і для функції р(x) отримаємо рівняння першого порядку . Це рівняння із змінними, що розділяються. Після розділення змінних і інтегрування, отримаємо

, або .

Звідси і . Останній інтеграл вичислимо по частинах, вважаючи u = lnx, dv = dx. Тоді du =1/x dx, v = x і

3.⁰ Розглянемо ще один випадок, коли диференціальне рівняння (8.10) допускає зниження порядку. Нехай права частина рівняння (8.10) не містить незалежної змінної х. тобто має вигляд . Вводиться заміна змінною , тоді за правилом диференціювання складної функції .

Приклад.Знайти загальний розв‘язок рівняння

Заміна змінною :

1)

Для розв‘язання отриманого диференціального рівняння виробимо заміну змінною: тоді

.

З урахуванням того, що , отримуємо:

Загальний інтеграл має вигляд:

2)

Таким чином, отримали два загальних розв‘язка.