Лінійні однорідні диференціальне рівняння (ЛОДР) другого порядку

Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння (ЛОДР) другого порядку :

(8.12)

і встановимо деякі властивості розв‘язків цього рівняння.

Теорема.Якщо функції і є розв‘язки рівняння (8.12), то розв‘язок цього рівняння є також лінійна комбінація цих функцій

, (8.13)

де с₁ і с₂ - довільні постійні.

Доведення. Підставимо функцію (8.13) і її похідні в ліву частину (8.12). Отримаємо

( (

(

.

Таким чином, функція являється також розв‘язком рівняння (8.12).

Отже, функція виду у = з довільними постійними с₁ і с₂ є розв‘язок рівняння (8.12). Доведемо надалі, що (8.13) за деяких умов є загальним розв‘язанням (8.12). Для цього розглянемо поняття лінійної залежності і лінійної незалежності функцій.

Функції і називаються лінійно залежними на (a, b), якщо існують такі числа с₁ і с₂ , з яких хоч би одне відмінне від нуля, що для будь-кого має місце рівність

. (8.14)

Очевидно, що якщо функції і лінійно залежні, то вони пропорційні. Дійсно, якщо , причому і , то . Вірно і зворотне.

Функції і називається лінійно незалежними на (a, b), якщо не існує таких чисел с₁ і с₂ , з яких хоч би одне відмінне від нуля, що для будь-кого має місце рівність (8.14).

Іншими словами, рівність (8.14) виконується відразу для усіх , якщо тільки с₁ = с₂ = 0.

Очевидно, що якщо функції і лінійно незалежні, то їх відношення , тобто вони не пропорційні.

Так, наприклад, функції і лінійно незалежні на будь-якому інтервалі , оскільки , а функції і лінійно залежні на будь-якому інтервалі , оскільки .

Ознака лінійної залежності системи функцій пов'язана з так званим визначником Вронського або вронскіаном. Для двох диференційованих функцій і вронскіан має наступний вигляд

W(x) = .

Мають місце наступні теореми.

Теорема 1.Якщо диференційовані функції і лінійно залежні на (a, b), то визначник Вронського на цьому інтервалі дорівнює нулю.

Доведення. Оскільки функцій і лінійно залежні, то вони пропорційні = α и = α , тоді визначник Вронського

= = 0.

Теорема 2.Для того, щоб дві диференційовані функції і були б лінійно незалежні на [a, b] необхідно і достатньо, щоб визначник Вронського на цьому сегменті був би відмінний від нуля.

.

Теорема(про структуру загального рішення ЛОДР другого порядку)

Якщо два розв‘язки і ЛОДР лінійно незалежні, то їх лінійна комбінація

у =

є загальним розв‘язком цього рівняння.

Доведення. Оскільки і є рішеннями рівняння (8.12), то їх лінійна комбінація у = також - розв‘язок цього рівняння. Залишається довести, що цей розв‘язок э загальним, тобто, що з нього можна виділити єдиний частковий розв‘язок, що задовольняє заданим початковим умовам

, (8.15)

Підставляємо ці умови в розв‘язок , отримаємо систему рівнянь

, (8.16)

відносно невідомих с₁ і с₂.

Визначник цієї системи

дорівнює значенню вронскіана в точці х = х₀ . Але оскільки і є лінійно незалежними на [a, b], те згідно з теоремою 2, . А це означає, що система (8.16) має єдиний розв‘язок:

, .

Розв‘язок є єдиним частковим розв’язком рівняння (8.12), якій задовольняє початковим умовам (8.15). Теорема доведена.