Лінійні однорідні диференціальне рівняння (ЛОДР) другого порядку
Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння (ЛОДР) другого порядку :
(8.12)
і встановимо деякі властивості розв‘язків цього рівняння.
Теорема.Якщо функції і є розв‘язки рівняння (8.12), то розв‘язок цього рівняння є також лінійна комбінація цих функцій
, (8.13)
де с1 і с2 - довільні постійні.
Доведення. Підставимо функцію (8.13) і її похідні в ліву частину (8.12). Отримаємо
( (
( ![](https://konspekta.net/lektsiiimg/baza2/704429867422.files/image529.gif)
.
Таким чином, функція являється також розв‘язком рівняння (8.12).
Отже, функція виду у = з довільними постійними с1 і с2 є розв‘язок рівняння (8.12). Доведемо надалі, що (8.13) за деяких умов є загальним розв‘язанням (8.12). Для цього розглянемо поняття лінійної залежності і лінійної незалежності функцій.
Функції і називаються лінійно залежними на (a, b), якщо існують такі числа с1 і с2 , з яких хоч би одне відмінне від нуля, що для будь-кого має місце рівність
. (8.14)
Очевидно, що якщо функції і лінійно залежні, то вони пропорційні. Дійсно, якщо , причому і , то . Вірно і зворотне.
Функції і називається лінійно незалежними на (a, b), якщо не існує таких чисел с1 і с2 , з яких хоч би одне відмінне від нуля, що для будь-кого має місце рівність (8.14).
Іншими словами, рівність (8.14) виконується відразу для усіх , якщо тільки с1 = с2 = 0.
Очевидно, що якщо функції і лінійно незалежні, то їх відношення , тобто вони не пропорційні.
Так, наприклад, функції і лінійно незалежні на будь-якому інтервалі , оскільки , а функції і лінійно залежні на будь-якому інтервалі , оскільки .
Ознака лінійної залежності системи функцій пов'язана з так званим визначником Вронського або вронскіаном. Для двох диференційованих функцій і вронскіан має наступний вигляд
W(x) = .
Мають місце наступні теореми.
Теорема 1.Якщо диференційовані функції і лінійно залежні на (a, b), то визначник Вронського на цьому інтервалі дорівнює нулю.
Доведення. Оскільки функцій і лінійно залежні, то вони пропорційні = α и = α , тоді визначник Вронського
= = 0.
Теорема 2.Для того, щоб дві диференційовані функції і були б лінійно незалежні на [a, b] необхідно і достатньо, щоб визначник Вронського на цьому сегменті був би відмінний від нуля.
.
Теорема(про структуру загального рішення ЛОДР другого порядку)
Якщо два розв‘язки і ЛОДР лінійно незалежні, то їх лінійна комбінація
у =
є загальним розв‘язком цього рівняння.
Доведення. Оскільки і є рішеннями рівняння (8.12), то їх лінійна комбінація у = також - розв‘язок цього рівняння. Залишається довести, що цей розв‘язок э загальним, тобто, що з нього можна виділити єдиний частковий розв‘язок, що задовольняє заданим початковим умовам
, (8.15)
Підставляємо ці умови в розв‘язок , отримаємо систему рівнянь
, (8.16)
відносно невідомих с1 і с2.
Визначник цієї системи
![](https://konspekta.net/lektsiiimg/baza2/704429867422.files/image586.gif)
дорівнює значенню вронскіана в точці х = х0 . Але оскільки і є лінійно незалежними на [a, b], те згідно з теоремою 2, . А це означає, що система (8.16) має єдиний розв‘язок:
, .
Розв‘язок є єдиним частковим розв’язком рівняння (8.12), якій задовольняє початковим умовам (8.15). Теорема доведена.
|