Метод варіації довільних постійних

Розглянемо ЛНДР (8.22). Його загальний розв‘язок представляється сумою загального розв‘язку у₀ однорідного рівняння (8.23) і часткового розв‘язку неоднорідного рівняння (8.22). Якщо відом загальний розв‘язок у₀ однорідного рівняння, то частковий розв‘язок можна знайти методом варіації довільних постійних, суть якого полягає в наступному. Нехай - загальний розв‘язок однорідного рівняння. Замінимо в цьому виразі постійні с₁ і с₂ невідомими функціями с₁(х) і с₂(х) так, щоб було б розв‘язком рівняння (8.22). Знайдемо похідну

.

Підберемо функції с₁(х) і с₂(х) так, щоб

.

Тоді

.

Підставляючи вирази , і в рівняння (8.22), отримаємо

+

+р(х)[ ] + q(x) [ ] = f(x),

або с₁(х)∙[ ] +

+ с₂(х)∙[ ] + /

Оскільки і - розв‘язки рівняння (8.23), то вирази в квадратних дужках дорівнюють нулю, то

. (8.27)

Таким чином, функція буде частковим розв‘язком рівняння (8.22), якщо функції с₁(х) і с₂(х) задовольняють системі

, (8.28)

Визначник цієї системи - вронскіан , оскільки функції і лінійно незалежні. Тому система (8.28) має єдиний розв‘язок: і . Інтегруванням цих функції, знаходимо с₁(х) і с₂(х), в результаті вираз є частковим розв‘язком неоднорідного рівняння (8.22).