ЛНДР другого порядку з постійними коефіцієнтами

Розглянемо диференціальне рівняння

, (8.29)

де p і g постійні величини, а f(x) - задана функція.

Згідно з теоремою про структуру загального розв‘язку ЛНДР воно представляється сумою загального розв‘язку у₀ відповідного однорідного рівняння і часткового розв‘язку неоднорідного рівняння. Загальний розв‘язок однорідного рівняння з постійними коефіцієнтами розглянуте раннє у відповідному розділі.

Що стосується визначення часткового розв‘язку неоднорідного рівняння з постійними коефіцієнтами, то воно може бути визначене за допомогою методу варіації довільних постійних, описаного в попередньому розділі. Проте якщо в правій частині рівняння (8.29) - многочлен, або показникова функція, або тригонометрична функція sinβx або cos βx, або лінійна комбінація перелічених функцій, то частковий розв‘язок може бути знайдено методом невизначених коефіцієнтів, що не містить процедуру інтегрування. Загальний підхід тут такий: частковий розв‘язок неоднорідного рівняння, як правило, шукається в тому ж виді, яка його права частина (тобто, функція f(x)). Проте, за цим "як правило" криються численні виключення.

Розглянемо різні види правих частин рівняння (8.29)

1. Якщо права частина рівняння є многочлен степені n ( f(x) = P_n(x) ) і x = 0 не є коренем характеристичного рівняння, то частковий розв‘язок так само слід шукати у вигляді многочлена степені n (x)=Q_n(x). Якщо ж число x = 0 є корінь характеристичного рівняння кратності r, то частковий розв‘язок слід шукати у вигляді (x)=x^r Q_n(x).

2. Якщо права частина рівняння має вигляд і число m не є коренем характеристичного рівняння, то частковий розв‘язок слід шукати у вигляді (x)=Ае^mx. Якщо ж m є корінь характеристичного рівняння кратності r, то (x)=А x^rе^mx.

3. Якщо права частина рівняння має вигляд і число m не є корінь характеристичного рівняння, то частковий розв‘язок слід шукати у виді . Якщо ж m є корінь характеристичного рівняння кратності r, то частковий розв‘язок слід шукати у виді . Навіть у разі, коли права частина рівняння містить тільки синус, або тільки косинус, приватне рішення все одно слід шукати у вигляді комбінації і синуса і косинуса.

4. Якщо права частина рівняння є сума, або добуток функцій, розглянутих вище, то частковий розв‘язок слід шукати у вигляді суми, або добутку, відповідних часткових розв‘язувань.

Приклад 1.Розв‘язати задачу Коші , y(0) = 2, .

Розв‘язок.Спочатку знайдемо загальний розв‘язок однорідного рівняння

. Його характеристичне рівняння має коріння k₁ = k₂ = 1, тому загальний розв‘язок однорідного рівняння має вигляд . Права частина неоднорідного рівняння є многочлен першої степені f(x) = P₁(x) = x + 1. Оскільки нуль не є коренем характеристичного рівняння, то частковий розв‘язок неоднорідного рівняння так само шукатимемо у вигляді многочлена першого степені (x)= Q₁(x) = Ax + B. Підберемо константи А і В так, щоб функція задовольняла неоднорідному рівнянню. Для цього підставимо функцію (x)=Q₁(x) = Ax + B і її похідні  в рівняння , отримаємо

- 2 А + А x + B = х + 1 або Ax + (- 2 A + B) = x + 1.

Остання рівність повинна виконуватися при усіх значеннях х, що можливо лише у тому випадку, коли рівні коефіцієнти при однакових степенях х в його лівій і правій частинах. Прирівнюючи відповідні коефіцієнти, отримаємо систему лінійних рівнянь для визначення величин А і В

Звідси А = 1, В = 3 і, значить, частковим розв‘язком неоднорідного рівняння є функція (x)= x + 3. Загальний розв‘язок рівняння має вигляд

y(x) = y₀(x) + .

Тепер підберемо константи c₁ і c₂ так, щоб ця функція задовольняла заданим початковим умовам. Оскільки y(0) = 2, то, підставивши у функцію і в її похідну задані початкові умови, отримаємо систему рівнянь для визначення постійних c₁ і c₂

Звідси c₁ = - 1 і c₂ = - 3. Значить, розв‘язок задачі є функція