Підставляємо отримане співвідношення в початкове рівняння

З цього рівняння визначимо змінну функцію С₁(х) :

Інтегруванням, отримуємо:

Підставляючи це значення в початкове рівняння, отримуємо:

.

Таким чином, ми отримали результат, повністю співпадаючий з результатом розрахунку по методу Бернулли.

При виборі методу рішення лінійних диференціальних рівнянь слід керуватися простотою інтегрування функцій, що входять в початковий інтеграл.

Приклад.Розв‘язати рівняння

Спочатку приведемо це рівняння до стандартного виду:

Застосуємо отриману вище формулу: . Тоді

чи

звідки

Рівняння Бернуллі

Рівнянням Бернуллі називається рівняння виду

(8.8)

де P і Q - функції від х або постійні числа, а n - постійне число, не рівне 1.

Для розв’язання рівняння Бернуллі застосовують підстановку , за допомогою якої, рівняння Бернуллі приводиться до лінійного.

Для цього розділимо початкове рівняння на yⁿ.

Застосуємо підстановку, врахувавши, що .

чи .

Тобто отримано лінійне рівняння відносно невідомої функції z.

Рішення цього рівняння шукатимемо у виді:

Приклад.Розв‘язати рівняння

Розділимо рівняння на xy²:

Вважаємо .

Вважаючи , знайдемо

.

Виробивши зворотну підстановку, отримуємо:

Приклад.Розв‘язати рівняння

Розділимо обидві частини рівняння на

Вважаємо

.

Отримали лінійне неоднорідне диференціальне рівняння. Розглянемо відповідне йому лінійне однорідне рівняння:

Вважаємо C = C(x) і підставляємо отриманий результат в лінійне неоднорідне рівняння, з урахуванням того, що:

Отримуємо:

Застосовуючи зворотну підстановку, знаходимо остаточну відповідь:

.