Основні поняття і визначення

Диференціальні рівняння

При дослідженні різних явищ і процесів взаємодії між різними середовищами (твердими, рідкими і газоподібними) в області механіки, фізики, хімічних і харчових технологій часто користуються математичними моделями, що виражають фундаментальні закони збереження. Як правило, ці математичні моделі призводять до рівнянь, які зв'язують незалежні змінні, що характеризують процес або явище, з будь-якою функцією цих змінних і похідними цієї функції різних порядків. Такі рівняння називаються диференціальними.

Як приклад можна розглянути простий випадок руху матеріальної точки. Основний закон механічної взаємодії описується законом Ньютона або , який виражає баланс діючих на точку сил (сила інерції урівноважується фізичною силою ). З диференціального числення відомо, що прискорення точки при прямолінійному її русі визначається другій похідній від поточної координати , тобто . Тому математична модель руху матеріальної точки представляється наступною залежністю

, (8.1)

тут мається на увазі, що в загальному випадку діюча на точку сила F може залежати від часу t, переміщення х і швидкості цієї точки. Рівняння (8.1) є диференціальним рівнянням прямолінійного руху матеріальної точки.

Рішенням диференціального рівняння називається функція, яка перетворює диференціальне рівняння в тотожність. Так, для рівняння (8.1) у разі постійної сили, рішенням є функція , де і - довільні постійні.

Розглянемо деякі загальні відомості про диференціальні рівняння (ДР).

Якщо диференціальне рівняння має одну незалежну змінну, то воно називається звичайним диференціальним рівнянням, якщо ж незалежних змінних дві або більш, то таке диференціальне рівняння називається диференціальним рівнянням у часткових похідних.

Найвищий порядок похідних, таких, що входять в рівняння, називається порядком диференціального рівняння.