![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Диференціальні рівняння першого порядку.
Диференціальним рівнянням першого порядку називається співвідношення, що зв'язує функцію, її першу похідну і незалежну змінну, тобто співвідношення виду :
Якщо таке співвідношення можна перетворити до виду
те це диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням, яке розв‘язане відносно похідної. Перетворимо такий вираз далі: Функцію f(x, y) представимо у виді:
- це так звана диференціальна форма рівняння першого порядку. Далі розглянемо детальніше типи рівнянь першого порядку і методи їх розв‘язання. Інтегрування диференціального рівняння в загальному випадку призводить до нескінченної множини рішень, які відрізняються один від одного постійною величиною. Наприклад, рішеннями рівняння
Задача, яка полягає у визначенні рішення диференціального рівняння першого порядку (8.1) і яка задовольняє заданій початковій умові (8.4), називається задачею Коші. Рівняння із змінними, що розділяються
Диференціальне рівняння
Таке рівняння можна представити також у виді:
Перейдемо до нових позначень Отримуємо: Після знаходження відповідних інтегралів виходить загальний розв‘язок диференціального рівняння із змінними, що розділяються. Якщо задані початкові умови, то при їх підстановці в загальний розв‘язок знаходиться постійна величина С, а, відповідно, і частковий розв‘язок. Приклади.1.0Знайти загальний розв‘язок диференціального рівняння :
Розділимо змінні
Інтеграл, що стоїть в лівій частині, береться по частинах
- це і є загальний інтеграл початкового диференціального рівняння. Щоб перевірити правильність отриманого результату здиференціюємо його по змінній х.
2.0 Знайти розв‘язок диференціального рівняння Маємо
при у(2) = 1 отримуємо Разом: Перевірка:
3.0 Розв‘язати рівняння Маємо
4.0 Розв‘язати рівняння Маємо 5.0 Розв‘язати рівняння Маємо Інтеграл, що стоїть в лівій частині братимемо по частинах
Якщо у(1) = 0, то Таким чином, розв‘язок задачі Коші є 6.0 Розв‘язати рівняння
Проводячи інтегрування, отримуємо загальний інтеграл:
7.0 Розв‘язати рівняння Перетворимо задане рівняння: чи
|