Диференціальні рівняння першого порядку.

Диференціальним рівнянням першого порядку називається співвідношення, що зв'язує функцію, її першу похідну і незалежну змінну, тобто співвідношення виду :

. (8.1)

Якщо таке співвідношення можна перетворити до виду

(8.2)

те це диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням, яке розв‘язане відносно похідної.

Перетворимо такий вираз далі:

Функцію f(x, y) представимо у виді: тоді при підстановці в отримане вище рівняння маємо:

, (8.3)

- це так звана диференціальна форма рівняння першого порядку.

Далі розглянемо детальніше типи рівнянь першого порядку і методи їх розв‘язання.

Інтегрування диференціального рівняння в загальному випадку призводить до нескінченної множини рішень, які відрізняються один від одного постійною величиною. Наприклад, рішеннями рівняння є функції , , і взагалі , с - const. Останній вираз є загальний розв‘язок початкового диференціального рівняння. Так, щоб розв‘язок диференціального рівняння було цілком визначеним, необхідно, щоб цей розв‘язок задовольняють умовам однозначності. Умова того, що при шукана функція (розв‘язок диференціального рівняння) дорівнює заданому числу називається початковою умовою. Початкова умова для диференціального рівняння першого порядку записується у виді

чи . (8.4)

Задача, яка полягає у визначенні рішення диференціального рівняння першого порядку (8.1) і яка задовольняє заданій початковій умові (8.4), називається задачею Коші.

Рівняння із змінними, що розділяються

Диференціальне рівняння називається рівнянням із змінними, що розділяються, якщо його можна записати у виді

. (8.5)

Таке рівняння можна представити також у виді:

чи , якщо .

Перейдемо до нових позначень

Отримуємо: або .

Після знаходження відповідних інтегралів виходить загальний розв‘язок диференціального рівняння із змінними, що розділяються.

Якщо задані початкові умови, то при їх підстановці в загальний розв‘язок знаходиться постійна величина С, а, відповідно, і частковий розв‘язок.

Приклади.1.⁰Знайти загальний розв‘язок диференціального рівняння :

.

Розділимо змінні

чи , тоді .

Інтеграл, що стоїть в лівій частині, береться по частинах

і

- це і є загальний інтеграл початкового диференціального рівняння. Щоб перевірити правильність отриманого результату здиференціюємо його по змінній х.

чи , що підтверджує вірність рішення.

2.⁰ Знайти розв‘язок диференціального рівняння за умовою у(2) = 1 (задача Коші).

Маємо , або звідки

і

при у(2) = 1 отримуємо

Разом: або - частковий розв‘язок;

Перевірка: , разом

.

3.⁰ Розв‘язати рівняння

Маємо , , або

. Загальний розв‘язок має вигляд .

4.⁰ Розв‘язати рівняння

Маємо

5.⁰ Розв‘язати рівняння за умовою у(1) = 0 (задача Коші).

Маємо ,

Інтеграл, що стоїть в лівій частині братимемо по частинах

.

.

Якщо у(1) = 0, то

Таким чином, розв‘язок задачі Коші є .

6.⁰ Розв‘язати рівняння .

. Спростимо це рівняння

чи , або

Проводячи інтегрування, отримуємо загальний інтеграл:

.

7.⁰ Розв‘язати рівняння .

Перетворимо задане рівняння: ,

чи , .

Отримали загальний інтеграл цього диференціального рівняння. Якщо з цього співвідношення виразити шукану функцію у, то отримаємо загальний розв‘язок.