Лінійні рівняння

Диференціальне рівняння називається лінійним відносно невідомої функції і її похідної, якщо воно може бути записане у виді:

(8.7)

при цьому, якщо права частина Q(x) дорівнює нулю, то таке рівняння називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням, якщо права частина Q(x) не дорівнює нулю, то таке рівняння називається лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням.

P(x) і Q(x) - функції безперервні на деякому проміжку a < x < b.

Для інтегрування лінійних неоднорідних рівнянь (Q(x)¹0) застосовуються в основному два методи: метод Бернулли і метод Лагранжа.

Метод Бернулли.

Суть методу полягає в тому, що шукана функція представляється у вигляді добутку двох функцій .

При цьому очевидно, що .

Підставляючи в початкове рівняння, отримуємо:

чи .

Далі слідує важливе зауваження - оскільки первісна функція була представлена нами у вигляді добутку, то кожен із співмножників, що входять в цей добуток, може бути довільним, вибраним на наш розсуд.

Виберемо функцію u так, щоб виконувалася умова .

Таким чином, можна отримати функцію u, зінтегруючи отримане диференціальне рівняння:

Для знаходження другої невідомої функції v підставимо одержаний вираз для функції u в початкове рівняння з урахуванням того, що вираз, якій стоїть в дужках, дорівнює нулю.

Інтегруванням, можемо знайти функцію v :

, .

Тобто була отримана друга складова добутку , який і визначає шукану функцію.

Підставляючи набутих значень, отримуємо:

Метод Лагранжа

Метод Лагранжа рішення неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь ще називають методом варіації довільної постійної.

Шукається розв‘язок лінійного диференціального рівняння першого порядку :

Перший крок цього методу полягає у відкиданні правої частини рівняння і заміні її нулем.

Далі знаходиться розв‘язок цього однорідного диференціального рівняння:

.

Для того, щоб знайти відповідне рішення неоднорідного диференціального рівняння, вважатимемо постійну С₁ деякою функцією від х.

Тоді за правилами диференціювання добутку функцій отримуємо: