Связь непрерывности и дифференцируемости функции.

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то в этой точке она и непрерывна. Обратное утверждение неверно, т.к. есть функции непрерывные, но не имеющие производной в какой-то точке.

Пример:

Функция в точке непрерывна, но не имеет производной.

Таблица основных производных

1. 15.

2. 16.

3. 17.

4. 18.

5. 19.

6. 20.

7. 21.

8. 22.

9. 23.

10. 24.

11. 25.

12.

13.

14.

Производная сложной и обратной функции

1. производная сложной функции Если и , то - сложная функция от х, где

u - промежуточный аргумент,

х - конечный аргумент.

Теорема. Производная сложной функции равна производной функции по промежуточному аргументу u умноженной на производную промежуточного аргумента по конечному аргументу х, т.е.

или

Пример.

(sinU)′ = cosU U′