Означення диференціала функції

Нехай функція y=f(x) диференційована в точці х, тобто існує границя

(1)

Згадаємо властивість про зв'язок функції з її границею, а саме:

якщо, , то при х®х₀, де a (х)®0

нескінченно мала величина. Тому початкове співвідношення можна записати:

(2)

де a(Dх)®0 - нескінченно мала величина при Dх®0. Співвідношення (2) показує, що приріст функції складається з двох доданків: a(Dх)·Dх - нескінченно малої величини вищого порядку малості при Dх®0 в порівнянні з f¢(x)·Dx (f¢(x)¹0). Тому f¢(x)·Dx є головною частиною приросту функції, лінійною відносно Dх.

Означення. Головна, лінійна відносно Dх, частина приросту функції називається диференціалом функції і позначається

(3)

Якщо в (3) взяти у=х, то dу=(х)'·Dх Þ dу=Dх, але у=х, тому dx=Dx – для незалежної змінної х її диференціал співпадає з приростом. В зв’язку з цим формула (10) приймає вигляд:

dy = f¢(x)dx(4)

формула диференціала функції.

З формули (4) маємо – ще одне пояснення позначення похідної.

Розділимо почленно співвідношення (2) для приросту функції на dy = f'(x)Dx (f'(x) ¹ 0) і знайдемо границю при Dх®0.

Отже, приріст функції і її диференціал є еквівалентними нескінченно малими величинами

Dу » dу. (5)

Співвідношення (5) використовують при наближеному обчисленні значення функції. Нехай х₁=х₀+Dх і, крім того, відомо значення f(x₀) і f¢ (x₀), тоді

f(x₁)=f(x₀)+ Dy»f(x₀)+dy=f(x₀)+ f¢(x₀)·Dx. (6)