Інтегрування частинами

Теорема. Нехай функції U=U(x) і V=V(x) диференційовані на деякому інтервалі (а, b), тоді на (а, b) виконується рівність

(2.1)

Доведення. Із властивостей диференціала відомо:

Перейшовши до інтегралів, отримаємо рівність (2.1).

Приклад 1.

Інтегруємо частинами за формулою (1)

Візьмемо U = 10х - 8 => dU = (10x - 8)^/dx = 10x

, тоді

Із наведених прикладів бачимо, що складність інтегрування залежить від вдалого розподілу підінтегральних виразу на два співмножники u і dv. В окремих випадках функція u при диференціюванні може спрощуватись, наприклад, якщо , то - уже многочлен (n -1) – го степеня. Вираз для dv повинен бути таким, щоб інтеграл від dv був табличним або зводився до нього. В противному випадку розподіл підінтегрального виразу на u і dv потрібно змінити.

Так, наприклад в інтегралах , , потрібно вибрати , а за dv відповідно брати e^axdx, sinbxdx, cosbxdx тоді v знаходиться за таблицею інтегралів.

В інтегралах , , за u потрібно відповідно брати lnх, arcsinx, arctgx, тоді dv = Р_n(x)dx і v легко знаходиться інтегруванням.