Методи обчислення невизначеного інтеграла

Означення 1. Функція F(x) називається первісною функцією для функції f(х) на інтервалі (а, b), якщо F(х) диференційовна на (а, b) і F'(x)=f(x). Так. наприклад, для функцій f₁(х) = 1, f₂ (х) = х, fз(х) = хⁿ, f₄ (х) = sinх первісними відповідно є функції F_l(x) = x, F₂(x) = , F₃(x) = (n ≠ 1), F₄(x)= -cosx, оскільки (x) = (x)^/ =1=f₁(x), (x)= ,

, .

Теорема 1. Якщо F(x) - первісна для функції f(х) на інтервалі (а, b), то F(x)+C - теж первісна, де С - довільна стала.

Теорема 2. Якщо F₁(x) і F₂(х) - дві первісні для f(x) на інтервалі (а, b), то F₁(x)-F₂(x)=C на (а, b), де С- деяка стала.

Означення 2. Довільна первісна для функції f(х) на інтервалі (а, b), називається невизначеним інтегралом і позначається символом

Якщо F(x) - одна із первісних функції f(x), то згідно означення

,

де символ - знак інтеграла, f(x), - підінтегральна функція, f(x)dx - підінтегральний вираз, С - довільна стала величина.

Процес знаходження первісної називається інтегруванням. Згідно з (1) зв'язок між наведеними вище функціями f₁(х), f₂(х), f₃(х), f₄(х) і відповідні їм первісними можна записати у вигляді інтегралів:

Зауваження. Інтеграли (1) - (4) входять до так званих основних табличних інтегралів.

Теорема 3. Якщо f(x) — неперервна на інтервалі (а, b), то для неї існує первісна, а, отже, і невизначений інтеграл.