Інтегрування заміною змінної

Теорема. Якщо функція f(x) неперервна на деякому інтервалі (a, b), a x=φ(t) має неперервну похідну по t, причому область зміни функції x=φ(t) належить області визначення функції f(x), тоді виконується рівність

(1)

Доведення. Покажемо, що ліва і права частини рівності (1) - це первісні для однієї функції відносно змінної t. Дійсно ліва частина (1) є складною функцією відносно t, тому похідна її по t дорівнює:.

А похідна правої частини теж має такий самий вигляд

Первісні для однієї і тієї ж функції відрізняються на сталу величину С, що і стверджує рівність (1).

Приклад 1.

Приклад 2.

Застосування визначеного інтеграла

Площа фігури в прямокутних координатах

1.

2.

3.

Площа, обмежена кривою у = f(х) та віссю ОХ.

4.

5.

знаки їх довільні (а < b).

ІІІ Диференціальні рівняння (д.р.)

Диференціальні рівняння: основні поняття, загальний та частинний розв’язки. Диференціальні рівняння І порядку.