Задачі, що приводять до диференціальних рівнянь.

Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну, невідому функцію і її похідні (або її диференціали).

Порядком д.р. називається найвищий порядок похідної (або диференціала), що входить в рівняння.

Диференціальне рівняння порядку n в загальному випадку має вигляд:

(1)

В цьому рівнянні х – незалежна змінна, у – невідома функція, а - похідні невідомої функції.

Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд:

(2)

а якщо його вдається розв’язати відносно похідної, то воно запишеться так: y^/=F(x,y) (3)

Розв’язком, або інтегралом рівняння (3) називається всяка диференційована функція , що задовольняє це рівняння, тобто така, після підстановки якої в рівняння (3) воно перетворюється в тотожність, тобто є тотожність відносно х.

Крива , що визначається розв’язанням рівняння (2) або (3) називається інтегральною кривою диференціального рівняння.

Загальним розв’язком д.р. (2) або (3) називаються співвідношення вигляду , або (4) які включають одну довільну сталу величину с.

Рівняння (4) визначають сімейство інтегральних кривих рівняння (2)

Частинним розв’язком д.р. (2) називається такий розв’язок, який одержується із загального розв’язку (4) при деякому значенні довільної сталої.

Довільна стала с, що входить в (4), визначається із так званих початкових умов.

З точки зору геометрії задача з початковими умовами зводиться до того, щоб із сімейства інтегральних кривих (4) виділити ту, яка проходить через точку площини.

Задача знаходження розв’язку рівняння (2), яке задовольняє початкові умови при , називається задачею Коші.

Приклад 1.

Перевірити, що функція є розв’язком рівняння .

Розв’язання. Маємо тому