Некоторые общие свойства функций

а) Четность и нечетность.

Определение. Функция у=f(x)называется четной, если для любого значения х из области определения функции, значение – хтакже принадлежит области определения и выполняется равенство:

f(x)=f (–x).

Согласно определению, четная функция определена в интервале, симметричном относительно начала координат.

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Определение. Функция у=f (x)называется нечетной, если для любого значения х из области определения функции, значение – хтакже принадлежит области определения и выполняется равенство

f (x)= –f (–x).

Нечетная функция определена также в интервале, симметричном относительно начала координат.

Ее график симметричен относительно начала координат.

б) Периодичность функций

Определение. Функция у=f(x)называется периодической, если существует такое число Т 0, что для любого значения х взятогоиз области определения функции, значения х+Т, х–Ттакже принадлежит области определения и выполняется равенство:

f (x)=f (x Т).

Число Т называется периодом функции.

в) Монотонность функций

Переменную величину называют монотонной, если она возрастает либо убывает.

Определение. Функция у=f(x)называется монотонно возрастающей на интервале (а,в), если для любых х₁ и х₂, принадлежащих этому интервалу, из неравенства х₁<х₂ следует неравенство f(x₁)<f(x₂).

Определение. Функция у=f(x)называется монотонно убывающей на интервале (а,в), если для любых х₁ и х₂, принадлежащих этому интервалу, из неравенства х₁<х₂ следует неравенство f(x₁)>f(x₂).

Рассмотрим примеры

1. Найти область определения функций

а) у=5- х²

Решение.

Выражение у=5-х² при любом действительном значении х принимает действительные значения. Область определения функции D(f)=(-¥,+¥).

б) у=

Решение.

Данная функция определена для всех значений х, кроме тех,при которых знаменатель дроби 2х-1 обращается в нуль. Решая уравнение 2х-1=0, находим: х= Поэтому областью определения данной функции является объединение двух интервалов D(f)=(-¥, ) ( ,+¥).

в) у=

Решение.

Корни квадратные определены только для неотрицательных чисел. Для нахождения области определения составим и решим неравенство х-1 0, х 1 Таким образом, областью определения функции является интервал [1,+¥). D(f)=[1,+¥).

г)

Решение.

Область определения данной функции можно рассматривать как совокупность всех значений х, удовлетворяющих неравенству

Неравенство равносильно системе неравенств

Из рисунка видно, что решением системы будет интервал .

Таким образом D(f )= .

д)

Решение.

Логарифмическая функция определена для положительных значений аргумента. Для нахождения области определения функции составим систему

Область определения функции есть объединение интервалов.

D(f )=(-1,1) (1,+¥).

е)

Решение.

Функция у=arccos x определена на интервале [–1,1]. Поэтому область определения данной функции можно рассматривать как множество значений, удовлетворяющих неравенству

D(f)=[0,4].

2. Установить четность или нечетность функции

а) у=х²+5х

Решение.

Область определения D(f)=(-¥,+¥)– симметрична относительно начала координат. Воспользуемся определением четной и нечетной функции. Имеем

f(–x)=(–x)²+5(–x)=x²–5x.

Таким образом, f(–x)¹ f(x) и f(–x)¹ –f(x), т.е. заданная функция не является ни четной , ни нечетной.

б) у=2^х+2^-х

Решение.

Область определения D(f)=(-¥;+¥). Имеем f(-x)=2^-х+2^-(-х)=2^-х+2^х, т.е. f(-x)= f(x). Данная функция – четная.

в)

Решение.

Найдем область определения функции

D(f)=(-¥,-3) (3,+¥).

Область определения симметрична относительно начала координат. Найдем

f(–x)= = = ,

т.е. f(-x)=- f(x), и, следовательно, данная функция – нечетная.

г)

Решение.

Область определения функции D(f )=(-¥,1) (1,+¥)несимметрична относительно начала координат. Данная функция не является ни четной, ни нечетной.

д)

Решение.

Найдем область определения данной функции

D(f)=(-¥,-1) (-1,1) (1,+¥). Область определения симметрична относительно начала координат.

Найдем f(–x)=

Видно, что f(-x)¹ f(x) и f(-x)¹ –f(x). Поэтому данная функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Определить, какие из следующих функций периодичны и найти их основные периоды.

При выполнении этих упражнений необходимо помнить, что функции у=sin x и y=cos x имеют период, равный 2p, а функции y=tg x и y=ctg x – период, равный p.

а) у=cos8x

Решение.

Так как основной период функции cos x есть2p, то основной период функции у=cos8x равен , т.е. .

б) y= sin 6x+tg4x

Решение.

Здесь для первого слагаемого основной период равен , а для второго – он равен . Очевидно, что основной период данной функции есть наименьшее общее кратное чисел и , т.е. p.

в) y=ln cos 2x

Решение.

Основной период для функции cos x равен 2p, для cos2x равен p . Следовательно, для данной функции основной период равен p.

г) y=sin² 3x

Решение.

Преобразуем выражение sin² 3x= . Период функции cos6x равен . Следовательно, данная функция имеет период, равный .

д) y=sin

Решение.

Функция y=sin не является периодической т.к. для числа х=0, число х–Т, (если Т>0) или число х+Т, (если Т<0) не принадлежит области определения функции.

1.4. Упражнения для самостоятельной работы студентов

1. Найти область определения функции

1.	16.
2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.	20.
6.	21.
7.	22.
8.	23.
9.	24.
10.	25.
11.	26.
12.	27.
13.	28.
14.	29.
15.	30.

2.Установить четность или нечетность функции

1.	12.
2.	13.
3.	14.
4.	15.
5.	16.
6.	17.
7.	18.
8.	19.
9.	20.
10.	21.
11.