Числовая последовательность. Предел числовой последовательности

а) Рассмотрим некоторую функцию натурального аргумента, а именно функцию f(n), определенную на множестве всех натуральных чисел.

1, 2, 3, 4, ..., n, ...

Определение. Всякая функция у=f(п), заданнаяна множестве всех натуральных чисел, называется (бесконечной) числовой последовательностью.

Закон соответствия f сопоставляет каждому натуральному числу п определенное значение функции f(п)

f(1), f(2), f(3), ..., f(п), ...

Значение функции удобно обозначать одной буквой, снабженной индексом (значком), указывающим, какому натуральному числу соответствует взятое значение функции f(п)

у₁= f(1), у₂=f(2), у₃=f(3), ..., у_п=f(п), ...

Числа у₁, у₂, у₃, ..., у_п, ... называют членами последовательности, член у_п, стоящий в последовательности на п-ом месте, называется п-ым ее членом.

Числовую последовательность обозначают символом {y_n}.

Графиком числовой последовательности является множество изолированных точек.

Чаще всего последовательность задается аналитическим способом, т.е. при помощи формулы у_п=f(п).

Примеры числовых последовательностей.

1)

Члены последовательности

2)

Члены последовательности

б) Виды числовых последовательностей.

Определение. Числовая последовательность {y_n} называется монотонно возрастающей, если при всех натуральных значениях n выполняется неравенство

y_n+1>y_n

У монотонно возрастающей последовательности каждый последующий член больше предыдущего.

Определение. Числовая последовательность {y_n} называется монотонно убывающей, если при всех натуральных значениях пвыполняется неравенство

y_n+1<y_n

Определение. Последовательность {y_n} называется ограниченной, если можно указать такое положительное число М,что при всех натуральных значениях п имеет местонеравенство

|y_n|<M

Определение. Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного числа Мимеет местонеравенство

|y_n|>M

в) Предел числовой последовательности.

Рассмотрим последовательность:

Изобразим члены последовательности точками прямой

Из рисунка видно, что точки, изображающие члены последовательности, с увеличением номера п все ближе и ближе подходят к точке 1, они как бы "накапливаются" около единицы.

Возьмем любое положительное число e. Изобразим на прямой отрезок длиной 2e с центром в точке 1. Очевидно, что точки, изображающие члены последовательности, попадут в интервал (1-e, 1+e) только тогда, когда расстояние между ними и точкой, изображающей единицу, будет меньше e. Как известно, расстояние между точками числовой прямой выражается числом

|y_n –1|, независимо от того, будет ли точка у_п слева или справа от точки 1.

Число 1, по отношению к которому члены взятой последовательности {y_n} обладают указанным свойством, называется пределом этой последовательности.

Очевидно также, что с ростом номера члена числовой последовательности, все члены числовой последовательности попадут в интервал (1-e, 1+e).

Определение. Число А называется пределом последовательности {y_n}, если для любого положительного числа e существует такое натуральное число N, что все значения y_n ,у которых номер п>N, удовлетворяют неравенству

|y_n–А|<e

Тот факт, что А является пределом последовательности записывают так:

Еще одна графическая иллюстрация понятия предела

Интервал (А-e, А+e) образует e–полосу. Все точки, которым соответствуют члены числовой последовательности, у которых номер n>N, попадут в e–полосу.

г) Свойства пределов последовательностей.

ТеоремаПоследовательность {y_n} может иметь лишь один предел

Теорема Последовательность, имеющая предел, является ограниченной.