КЛАССИФИКАЦИЯ

4.1. Основные теоретические сведения

Определение. Функция у = f(x)называется непрерывной в точке х₀, если эта функция определена в какой-нибудь окрестности точки х₀ и если

то есть бесконечно малому приращению аргумента в окрестности точки х₀ соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение. Функция у=f(x) непрерывна в точке х₀, если она определена в некоторой окрестности этой точки и если предел функции при стремлении независимой переменной х к х₀ существует и равен значению функции при х=х₀, то есть

Определение. Пусть х → х₀, оставаясь все время слева от х₀. Если при этом условии f(x)стремится к пределу, то он называется левым пределом функции f(x)в точке х₀, то есть

Аналогично определяется и правый предел

Определение. Функция непрерывна в точке х₀ если:

- функция определена в точке х₀;

- существуют левый и правый пределы функции f(x) при х → х₀;

- все три числа (х₀), f(x₀ –0), f(x₀ +0) совпадают, то есть

Определение. Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

Теорема. Если две функции f(x) и g(x) определены в одном и том же

интервале и обе непрерывны в точке х₀, то в той же точке будут непрерывны и функции

Теорема. Сложная функция, состоящая из конечного числа непрерывных функций, является непрерывной.

Все основные элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Определение. Если в какой-либо точке х₀ функция не является непрерывной, то точка х₀ называется точкой разрыва функции, а сама функция – разрывной в этой точке.

Определение. Если в точке х₀ существует конечныйlim f(x) = А

(левосторонний и правосторонний пределы существуют, конечны и равны между собой), но он не совпадает со значением функции в точке, или же функция в точке не определена, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва. Принятое изображение точкиустранимого разрыва представлено на рис. 1.

Рис. 1

Определение. Точкой разрыва первого рода или точкой конечного разрыва называется такая точка х₀, в которой функция имеет левый и правый конечные пределы, но они не равны между собой.

На рис. 2 приведено графическое представление разрыва функции первого рода в точке х₀

Рис.2

Определение. Если хотя бы один из пределов f(x₀ – 0) или f(x₀ + 0) не существует или бесконечен, то точка х₀ называется точкой разрыва, второго рода.

Графические представления разрывов функций второго рода в точке х₀ приведены на рис. 3 (а, б, в).

Приведенные выше определения непрерывности функции f(x) в точке х₀

представлены на рис. 4, где отмечено, что основной посылкой при определении непрерывности функции (необходимым условием) в точке х₀ является то, что f(x) определена в точке и ее окрестности.

Пример Исследовать на непрерывность, определить характер точек разрыва,

изобразить в окрестности точек разрыва функцию

Решение.

Это рациональная функция Она определена и непрерывна при всех значениях х, кроме х = 1, так как при х = 1 знаменатель обращается, в нуль. Вточке х = 1 функция терпит разрыв. Вычислим предел этой функции при

х → 1, имеем

Конечный предел функции при х→ 1 существует, а функция в точке

х = 1 не определена; значит точка х = 1 является точкой устранимого разрыва.

Если доопределить функцию, то есть положить f (1) = 5, то функция

будет непрерывной.

Поведение функции в окрестности точки х = 1 изображено на рис.4.

Замечание. Данная функция

неопределенная при х = 1, совпадает с непрерывной функцией

во всех точках кроме х =1

Пример.

Исследовать на непрерывность функцию и определить характер ее точек разрыва

Решение.

Область определения функции – вся числовая ось. На интервалах(–¥, 0), (0,+¥) функция непрерывна. Разрыв возможен только в точке х = 0, в которой изменяется аналитическое задание функции.

Найдем односторонние пределы функции:

Левый и правый пределы хотя и конечны, но не равны между собой. Поэтому в точке х = 0 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в точке разрыва равен

Поведение функции в окрестности точки х = 0 изображено на рис. 5.

Рис.5

Пример Исследовать функцию f(x) на непрерывность, определить характер ее точек разрыва, изобразить ее поведение в окрестности точек разрыва.

Решение.

Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точек
х, = –2 и х₂ = 2, причем

не существует.

Вычисляем односторонние пределы в точке х, = –2.

Итак, в точке х = –2 функция терпит разрыв второго рода. Исследуем характер разрыва функции в точке х₂ =2. Имеем

В точке х₂ =2 функция также терпит разрыв второго рода.

Поведение функции в окрестности точек х_х= –2 и х₂ = 2 изображенона рис. 6.

Рис. 6

Пример.

Исследовать функцию f(x) = e^x+i на непрерывность, определить характер точек разрыва, изобразить поведение функции в окрестности точек разрыва.

Решение.

Функция неопределена при х = –3, поэтому функция непрерывна при всех кроме х = –3. Определим характер разрыва функции. Имеем

то есть один из пределов равен бесконечности, а значит функция терпит разрыв

второго рода.

Поведение функции f(x) = e^x+3 в окрестности точки разрыва х = –3 изображено на рис. 7

Рис. 7

4.2. Упражнения для самостоятельной работы студентов

1. Исследовать функции на непрерывность, определить характер их точек разрыва, изобразить графически поведение функций в окрестности

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

2. Исследовать функции на непрерывность, определить характер их точек разрыва, изобразить графически поведение функций в окрестности точек разрыва

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

3. Исследовать функции на непрерывность, определить характер точек разрыва, изобразить графически поведение функций в окрестноститочек разрыва

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

 

Литература

1. Овчинников П.Ф., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Высшая математика. Ч. 1 – К.: Техніка, 2003. – 600 с.

2. Ковальчук Т. В. Вища математика для економістів : Частина 1. Підручник. – Київ: КНТЕУ, 2005. – 395 с.

3. Кремер Н.Ш. Вища математика для економістів. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1999. – 471 с.

4. Гаврильченко Х.І., Полушкін С.П. Вища математика. Збірник задач. Ч. 1. К.: Техніка, 2004. – 279 с.