Понятие бесконечно большой и бесконечно малой величины

Определение. Функция f(x) стремится к бесконечности при х® а, т.е. является бесконечно большой величиной, если для любого положительного числа M, как бы велико оно ни было, можно найти такое d >0, что для всех значений х, отличных от а, удовлетворяющих условию 0<|х-a|<d, имеет место неравенство |f(x)|>M.

Символическая запись

Если f(x)стремится к бесконечности при х® а и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут

или

Функция у=f(x), являющаяся при х® а бесконечно большой величиной, не имеет предела в обычном смысле.

Графическая иллюстрация

Определение. Функция f(x), называетсябесконечно большой величиной при х®+¥, если для любого положительного числа M, как бы велико оно ни было, найдется такое значение х₀, что для всех значений х, удовлетворяющих условию х>х₀, будет выполняться неравенство

|f(x)|>M.

Символическая запись

Функция у=f(x)при х® а или при х® ¥ может не стремиться к конечному пределу или к бесконечности.

Определение. Функция, стремящаяся к нулю при х® а называется бесконечно малой величиной, т.е.

Бесконечно большие и бесконечно малые величины будем обозначать a(х), b(х), ...

Теорема. (О связи бесконечно большой с бесконечно малой функцией)

Если функция a(х)–бесконечно большая величина, то – бесконечно малая величина; если функция b(х)–бесконечно малая величина, то – бесконечно большая величина.

Теорема.Если функция имеет предел, то ее можно представить как сумму постоянной, равной ее пределу, и бесконечно малой величины, т.е.

f(x)=А+ a(х).