Предел функции непрерывного аргумента

Пусть независимая переменная х функции у=f(x) неограниченно возрастает. Это означает, что мы придаем х любые значения больше всякого наперед заданного положительного числа. Говорят, что х стремится к положительной бесконечности и записывают х®+¥.

Если х неограниченно убывает, т.е. становится меньше всякого наперед заданного отрицательного числа, то говорят, что х стремится к отрицательной бесконечности и записывают х® -¥.

Аргумент функции, изменяющийся указанным образом, называется бесконечно большим аргументом. Может оказаться, что при бесконечно большом аргументе соответствующие значения f(x)неограниченно приближаютсяк некоторому числу А. Тогда говорят, что число А есть предел функции у=f(x)при х®+¥ или при х®-¥.

Определение. Число А называется пределом функции у=f(x) при х®+¥ , если для любого положительного числа e существует х₀ такое, что для всех х>х₀ имеет место неравенство

|f(x)–А|<e

Символическая запись предела функции

Графическая иллюстрация.

Определение. Число А называется пределом функции у=f(x) при х® -¥ , если для любого положительного числа e существует х₀ такое, что для всех х<х₀ выполняется неравенство

|f(x)–А|<e

Символическая запись предела функции

Графическая иллюстрация

Иногда бывает, что и при х®+¥ и при х® -¥ функция f(x)стремится к одному и тому же пределу А. Записывают это так

Примеры.

1) у=arctg x

2) у=е^х

Определение. Число А называется пределом функции у=f(x)в точке а, если для любого положительного числа e существует такое положительное число d, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство

|f(x)–А|<e

Символическая запись

Графическая иллюстрация

Если f(x)®A при х®а, то на графике функции у=f(x) это иллюстрируется следующим образом. Так как из неравенства 0<|х-a|<d следует неравенство , то это значит, что для всех точек х, отстоящих от точки а не далее чем на d, точки М графика функции лежат внутри полосы шириной 2e, ограниченной прямыми у=А-e и у=А+e.

Пример.

Докажем, что

Пусть задано произвольное e >0; для того, чтобы выполнялось неравенство |(3х+1)–7|<e, необходимо выполнение следующих неравенств

|3х–6|<e,

Пусть , тогда |x-2|<d, или .

Таким образом, при любом e для всех х, удовлетворяющих неравенству , значение функции 3х+1 будет отличаться от 7 меньше, чем на

e . А это и значит, что 7 есть предел функции при х®2.