Число е. Второй замечательный предел

Определение. Числом е называется предел

.

Число е иррационально и поэтому не может быть точно выражено какой-нибудь конечной дробью. Приближенно оно равно

Рассмотрим функцию непрерывного аргумента:

Теорема. Функция при х® ¥ имеет предел, равный е, т.е.

Этот предел называется вторым замечательным пределом.

Более общая форма записи второго замечательного предела:

Эквивалентные бесконечно малые величины. Теорема о замене бесконечно малых эквивалентными

Определение. Если , то бесконечно малые и называются эквивалентными при .

Обозначается это так

Пример.

Так как , то .

Таблица эквивалентных бесконечно малых величин

при	при
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения двух бесконечно малых, им эквивалентных, т.е.

, при

Пример.

Доказать, что при