Теорема об оценке определенного интеграла.

Пусть на отрезке и функция интегрируема на отрезке. Тогда

1. Доказательство. Интегрируя по свойству (Если на отрезке , то . Так как на отрезке, то . Переходя к пределу, получим .) неравенство , с учетом свойства 5 получаем требуемое утверждение.

Пример. . Такой интеграл «не берется». Но на отрезке . Поэтому, учитывая четность подинтегральной функции, получим . Конечно, это – очень грубая оценка, более точную оценку можно получить, применяя методы численного интегрирования.

1) Среди корней характеристического уравнения имеется простая пара комплексно сопряженных корней .

Справедливо утверждение, которое мы примем без доказательства: простой паре комплексно сопряженных корней соответствует пара комплексно сопряженных собственных векторов .

Запишем формально соответствующую пару решений:

Эти решения комплексные. Вместо них мы (по линейности и теоремам о свойствах решений) можем взять решения Общее решение можно записать в виде:

..

Пример.

.

Билет 2

1 Задача о площади криволинейной трапеции.Рассмотрим криволинейную трапецию, образованную отрезком оси OX (основание трапеции), прямыми (на них лежат боковые стороны трапеции) и графиком функции . Так как график функции – кривая линия, то такая трапеция называется криволинейноqй. Устроим разбиение отрезка точками . Обозначим . На каждом отрезке отметим точку . Вычислим . Обозначим - площадь части криволинейной трапеции над отрезком , S – площадь всей криволинейной трапеции. Тогда Пусть функция непрерывна на каждом отрезке . По второй теореме Вейерштрасса выполняется неравенство , где - нижняя и верхняя грани функции на отрезке . Тогда

Сумма называется интегральной суммой, суммы , называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу. Будем измельчать разбиение так, чтобы . Если существует предел интегральных сумм при неограниченном измельчении разбиения, то он называется определенным интегралом (по Риману) от функции по отрезку : .

Если существуют пределы нижней и верхней сумм Дарбу при неограниченном измельчении разбиения, то они называются нижним и верхним интегралами Дарбу.Теорема существования определенного интеграла.

Если подынтегральная функция y=f(x) непрерывна или кусочно - непрерывна на отрезке [a;b], то определенный интеграл заданной функции существует. Теорема принимается без доказательств.

Критерий существования определенного интеграла. Для того, чтобы существовал определенный интеграл по Риману , необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны нижний и верхний интегралы Дарбу.

Следствие.Если определенный интеграл существует как предел интегральных сумм, то он не зависит

- от выбора разбиения, лишь бы .

- от выбора отмеченных точек на элементах разбиения

- от способа измельчения разбиения, лишь бы .

Поэтому (критерий Римана) для интегрируемости по Риману ограниченной на отрезке функции необходимо и достаточно, чтобы существовало некоторое конкретное разбиение отрезка, на котором для любого .Теорема. Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема.Если функция кусочно непрерывна на отрезке (имеет на нем не более конечного числа разрывов первого рода), то она интегрируема на этом отрезке.

Мы пришли к определенному интегралу от задачи о площади криволинейной трапеции. Если функция принимает на отрезке неотрицательные значения, то определенный интеграл можно интерпретировать как площадь под графиком функции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.