Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение первого порядка общего вида выглядит следующим образом:

Дифференциальное уравнение первого порядка общего вида выглядит следующим образом:

.Предположим, что дифференциальное уравнение удалось разрешить относительно производной: или .Функция называется решением дифференциального уравнения первого порядка, если при подстановке этого решения в уравнение получаем тождество.

.Функция называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка в области , если

- при любой постоянной c функция является решением,

- для любого набора начальных условий существует константа такая, что , т.е. существует решение из семейства (при ), удовлетворяющее этим начальным условиям.Одной из основных задач является задача отыскания общего решения дифференциального уравнения

Если зафиксировать постоянную в общем решении, мы получим частное решение дифференциального уравнения первого порядка. Функция называется первым интегралом дифференциального уравнения, если она сохраняет свои значения на его решениях ( =С).По сути дела, это – закон сохранения (функция сохраняет значения на решениях дифференциального уравнения).Интегральной кривойназывается график решения дифференциального уравнения.

Одной из основных задач является также задачаКоши- задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям или интегральной кривой, проходящей через заданную точку .Теорема существования решения задачи Коши.Пусть функция непрерывна в области , тогда существует хотя бы одно решение, удовлетворяющее любым заданным начальным условиям или существует хотя бы одна интегральная кривая, проходящая через точку .

Билет 6 1 Интеграл с переменным верхним пределом.Определенный интеграл представляет собой функцию пределов интегрирования. Это ясно даже из геометрической интерпретации интеграла как площади криволинейной трапеции. Изменяя пределы интегрирования, мы изменяем основание трапеции, изменяя тем самым ее площадь. Рассмотрим интеграл как функцию верхнего предела интегрирования – интеграл с переменным верхним пределом . Переменная интегрирования по свойству 9 определенного интеграла – «немая переменная», ее можно заменить z или t или как- либо еще. Никакого отношения к верхнему пределу интегрирования она не имеет. Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу(основная теорема математического анализа)Пусть функция непрерывна на отрезке , пусть . Тогда .Доказательство. .При доказательстве мы воспользовались теоремой о среднем и непрерывностью функции .

2Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами может быть записана в виде

, где , (векторная форма записи)

или

(покоординатная форма записи).Будем искать решение системы в виде .Подставляя в уравнение системы, получаем

. Получено уравнение для определения соответствующего собственному значению собственного вектора линейного оператора с матрицей A. Система уравнений или имеет ненулевое решение только, когда определитель системы равен нулю, т.е. .Это – характеристическое уравнение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В развернутом виде его можно записать так: .

Характеристическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение n- го порядка относительно . Из основной теоремы высшей алгебры известно, что оно имеет ровно n корней. Часть корней может быть действительными корнями, часть - комплексными, но комплексные корни встречаются только парами комплексно-сопряженных корней. Это следует из действительности коэффициентов характеристического уравнения и теорем Виета.

3) Рассмотрим случай, когда все собственные значения линейного оператора с матрицей A (или все характеристические числа матрицы A, что одно и то же) действительны и различны.

Из линейной алгебры известно, что действительным различным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы , которые можно определить по собственным значениям из системы уравнений

или .

В развернутом виде эти уравнения для можно записать в виде

.

Теперь решения системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами будут .

Проверим, что решения являются линейно независимыми. Составим определитель Вронского

, так как векторы линейно независимы и определитель из координат этих векторов отличен от нуля. Так как определитель Вронского отличен от нуля, то полученные решения линейно независимы. Так как этих решений ровно n, то они составляют фундаментальную систему решений. Следовательно, общее решение системы линейных однородных уравнений может быть записано в виде

.

Билет 7

Несобственные интегралы от непрерывной функции по бесконечному промежутку (первого рода).Пусть отрезок числовой оси неограничен. Это возможно в трех случаях: . Определим несобственные интегралы как пределы

, , . В последнем интеграле a и b независимо друг от друга стремятся к . Если , то предел в правой части последнего равенства называется главным значением несобственного интеграла.Если эти пределы существуют и конечны, то несобственные интегралы называются сходящимися. Если предел не существует или бесконечен, то такой несобственный интеграл называется расходящимся. Если сходятся интегралы от функций , то сходятся интегралы от функций . Это следует из теорем о пределах.Пример. , интеграл сходится.

Пример. , интеграл расходится.Пример. сходится при и расходится при . Проверьте это. Рассмотрим интеграл Дирихле .

. При , интеграл расходится.

Итак, несобственный интеграл Дирихле первого рода сходится при расходится при

2.