Свойства определенного интеграла.

1. Свойства линейности

а) суперпозиции , б) однородности

Вообще говоря, свойствами линейности обладают все линейные операции (дифференцирование, интегрирование, проектирование и т.д.)

2. Свойство аддитивности (по множеству)

Доказательство. Пусть . Выберем разбиение так, чтобы точка с была границей элемента разбиения . Это возможно (следствие). Составим интегральную сумму . Будем измельчать разбиение, сохраняя точку с границей элемента разбиения. Это возможно (следствие). Тогда предел при левой части равенства интегральных сумм равен , первого слагаемого правой части , второго слагаемого правой части .

3. (свойство «ориентируемости» множества). Составляя интегральную сумму для интеграла в правой части равенства, заметим, что элемент разбиения надо проходить в другом направлении, от конца отрезка к началу. Поэтому для этого интеграла интегральная сумма будет

- . Переходя к пределу при измельчении разбиения, получим . . Это постулируется, но, вообще говоря, это и очевидно.

4. .

.

5. Если на отрезке , то .

Так как на отрезке, то . Переходя к пределу, получим .

6. Если на отрезке , то .

Так как на отрезке, то . Переходя к пределу, получим .

7. .

8. (переменная интегрирования – «немая» переменная, ее можно изменить, она не несет в себе самостоятельного смысла)

Определенный интеграл является функцией своих пределов, при фиксированных пределах интегрирования это – число. Он определен своими пределами. Поэтому он и называется определенным.

2.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n –го порядка с постоянными коэффициентами. .

Теорема о наложении частных решений.Пусть - решение неоднородного уравнения с правой частью , - решение неоднородного уравнения с правой частью . Тогда - решение неоднородного уравнения с правой частью .Доказательство. Подставим в неоднородное уравнение: .

По теореме о структуре решения неоднородного уравнения . Общее решение однородного уравнения мы строить умеем. Остается подобрать частное решение неоднородного уравнения по известной правой части. При этом можно воспользоваться доказанной теоремой. Если правая часть представляет собой сумму функций, то можно искать частные решения, соответствующие каждому слагаемому суммы, а затем сложить найденные частные решения.