Формула для построения второго частного решения по известному

(построение фундаментальной системы). .

Разделим обе части уравнения на .

Отсюда . Нам надо найти частное решение, поэтому выберем С=1, C ₁=0, получим .

Билет 14 1Несобственные интегралы от разрывной функции по конечному промежутку (второго рода).

Функция может терпеть разрыв на левом конце отрезка [a,b], на правом конце или в некоторой внутренней точке с отрезка.Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] за исключением точки x= a, тогда несобственным интегралом второго рода от функции f(x) по отрезку [a,b] называется предел = . Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] за исключением точки x= b, тогда несобственным интегралом второго рода от функции f(x) по отрезку [a,b] называется предел = . Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] за исключением точки x=(a,b), тогда несобственным интегралом второго рода от функции f(x) по отрезку [a,b] называется = (интегралы в правой части определены выше).Если указанные пределы существуют и конечны, то интегралы называются сходящимися, если предел бесконечен или не существует вообще, то интеграл расходится. Если сходятся интегралы от функций , то сходятся интегралы от функций . Это следует из теорем о пределах.

Пример.

Интеграл расходится, так как пределы в правой части равенства бесконечны.Заметим, если здесь формально применить формулу Ньютона-Лейбница (она неприменима, т.к. функция разрывна), получим ответ 2. Еще раз убеждаемся, что теоремы следует применять, внимательно проверяя условия их применимости.Рассмотрим несобственный интеграл Дирихле второго рода . . При n=1 , интеграл расходится. Итак, несобственный интеграл Дирихле второго рода сходится при расходится при Замечание. Интегралы Дирихле первого и второго рода расходятся при n=1. При n>1 интеграл Дирихле первого рода сходится, а интеграл Дирихле второго рода расходится. При n<1 интеграл Дирихле первого рода расходится, а интеграл Дирихле второго рода сходится.Признаки сравнения интегралов остаются верными и для интегралов второго рода. Эталонами сравнения служат обычно интегралы Дирихле и интегралы от показательной функции.

Признаки сравнения несобственных интегралов(достаточные признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов). 1 признак. Теорема.Пусть при выполнено неравенство . Если интеграл сходится, то и интеграл сходится.Если интеграл расходится, то и интеграл расходится.Доказательство. Проинтегрируем неравенство на отрезке , . Так как обе функции на отрезке имеют только положительные значения, то интегралы от этих функций представляют собой возрастающие функции от верхнего предела b. Если сходится ( = I), то при любом b > a = I (I – конечное число). Поэтому - монотонно возрастающая, ограниченная функция верхнего предела интегрирования b. Следовательно, по теореме Вейерштрасса этот интеграл как функция b имеет предел , т.е. интеграл сходится. Пусть теперь расходится. Если сходится, то по доказанному и сходится, противоречие. Теорема доказана. Вообще-то, все было ясно из геометрического смысла определенного интеграла как площади криволинейной трапеции под графиком функции. Если значения одной функции больше, чем значения другой функции, то и соответствующая криволинейная трапеция имеет большую площадь. И если эта площадь конечна, то и меньшая площадь конечна. А если меньшая площадь бесконечна, то и большая площадь бесконечна. Но строгое доказательство не подведет, а «очевидное» иногда подводит.2 признак сравнения. Теорема.Пусть при x>a . Если существует конечный предел , то интегралы , , сходятся или расходятся одновременно (если один сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится).

Доказательство. Из определения предела следует

.Если интеграл сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл , а, следовательно, сходится интеграл . Если интеграл сходится, то сходится интеграл , а, следовательно, по первому признаку сравнения сходится интеграл . Пусть интеграл расходится. Если интеграл сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл , противоречие. Пусть интеграл расходится. Если интеграл сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл , противоречие. Теорема доказана.

2 Теоремы о свойствах решений.

1) сумма или разность решений однородного уравнения есть решение однородного уравнения,

2) разность решений неоднородного уравнения есть решение однородного уравнения,

3) сумма решений однородного и неоднородного уравнений есть решение неоднородного уравнения.

Докажем эти теоремы.

1)

2)

3) .

Билет 15