Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.




Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка . Будем искать его решение в виде . Подставляя y в дифференциальное уравнение, получим Так как то имеем - характеристическое уравнение. Решая его, получим корни .Возможно три случая:

1) действительны и различны,

2) - комплексно сопряженные корни,

3) - действительный кратный корень.

В случае действительных, различных корней получаем решения

.

Для того, чтобы доказать, что решения составляют фундаментальную систему решений и общее решение записывается в виде , надо проверить линейную независимость . Составим определитель Вронского

, так как

. Заметим, что для уравнения второго порядка проверять линейную независимость можно проще. Надо показать, что . Тогда столбцы определителя Вронского линейно независимы и . В нашем случае при . В случае комплексно сопряженных корней , применяя формулу Эйлера получим комплексно сопряженные решения . Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения тоже является решением, то являются решениями. Они линейно независимы, так как . Следовательно, общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней можно записать по формуле .

В случае кратного действительного корня одно из решений можно выбрать в форме . Второе решение будем выбирать в виде . Подставим в дифференциальное уравнение, чтобы определить . , Так как k - корень характеристического уравнения, то . Так как k еще и кратный корень, то по теореме Виета . Поэтому . Для определения имеем уравнение , отсюда . Выберем , получим . Следовательно, . Решения линейно независимы, так как . Поэтому общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратного корня можно записать по формуле .

Примеры. 1)

2)

 

Билет 17

. Фигура ограничена графиком функции, заданной в полярной системе координат.

Пусть график функции задан в полярной системе координат и мы хотим вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного двумя лучами и графиком функции в полярной системе координат.Здесь можно использовать метод интегральных сумм, вычисляя площадь криволинейного сектора как предел суммы площадей элементарных секторов, в которых график функции заменен дугой окружности . Можно использовать и метод дифференциалов: . Рассуждать можно так. Заменяя элементарный криволинейный сектор, соответствующий центральному углу круговым сектором, имеем пропорцию . Отсюда . Интегрируя и используя формулу Ньютона – Лейбница, получаем . Пример. Вычислим площадь круга (проверим формулу). Полагаем . Площадь круга равна . Пример. Вычислим площадь, ограниченную кардиоидой .

 

 

Билет 181Формула Ньютона – Лейбница.Пусть функция непрерывна на отрезке - некоторая первообразная функции . Тогда . Доказательство. Из теоремы о производной интеграла по переменному верхнему пределу следует, что , т.е. - первообразная для функции . По теоремам о первообразных две первообразных отличаются на константу т.е. Но (свойство 4 определенного интеграла), поэтому . Тогда . Следовательно, .

2. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n –го порядка с постоянными коэффициентами. . Теорема о наложении частных решений.Пусть - решение неоднородного уравнения с правой частью , - решение неоднородного уравнения с правой частью . Тогда - решение неоднородного уравнения с правой частью . Доказательство. Подставим в неоднородное уравнение:

.

По теореме о структуре решения неоднородного уравнения . Общее решение однородного уравнения мы строить умеем. Остается подобрать частное решение неоднородного уравнения по известной правой части. При этом можно воспользоваться доказанной теоремой. Если правая часть представляет собой сумму функций, то можно искать частные решения, соответствующие каждому слагаемому суммы, а затем сложить найденные частные решения.

Метод подбора формы частного решения.Рассмотрим сначала уравнение второго порядка

2) Пусть правая часть представляет собой квазиполином . Ищем частное решение в виде . Здесь - полином n-ой степени, - полином, степень которого надо определить. , .

а) Если a - не корень характеристического уравнения, то , и многочлен надо выбирать той же степени, что и , т.е. степени n.

б) Если a - простой корень характеристического уравнения, то . В этом случае многочлен надо выбирать той же степени, что и , т.е. степени n. Тогда степень многочлена надо выбирать равной n+1. Однако при дифференцировании производная свободного члена (постоянной) равна нулю, поэтому можно выбирать в виде = .

в) Если - кратный корень характеристического уравнения, то . В этом случае многочлен надо выбирать той же степени, что и , т.е. степени n. Тогда степень многочлена надо выбирать равной n+2. Однако при двукратном дифференцировании производная не только свободного члена равна нулю, но и производная линейного члена равна нулю. Поэтому можно выбирать в виде = .

Пример. , , - не корень характеристического уравнения, поэтому частное решение надо искать в том же виде, что и правая часть, . Подставляем в неоднородное уравнение с правой частью . . . Корень содержится один раз среди корней характеристического уравнения, поэтому частное решение ищется в виде . Подставляем в неоднородное уравнение с правой частью . .

Суммируя оба частных решения, получаем частное решение неоднородного уравнения для исходной правой части: . Общее решение неоднородного уравнения будет .

2) Правая часть имеет вид

b) Если не корни характеристического уравнения, то частное решение ищется в том виде, в котором задана правая часть:

,

где - полиномы степени m – максимальной из степеней полиномов .

б) Если - пара корней характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

,

Рассмотрим неоднородное уравнение n-го порядка, покажем, как в нем применять метод подбора формы частного решения.Здесь ситуация сложнее, так как в характеристическом уравнении n корней, действительные корни и комплексно сопряженные, простые и кратные корни.

5) Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид

e) Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищется в том же виде, что и правая часть .

f) Если - корень характеристического уравнения r-ой кратности, то частное решение неоднородного уравнения ищется в виде .

6) Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид

а) Если пара комплексно сопряженных корней не является корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищется в том же виде, что и правая часть

, где степень m многочленов – максимальная из степеней многочленов .

d) Если пара комплексно сопряженных корней является корнями характеристического уравнения r-ой кратности, то частное решение неоднородного уравнения ищется в виде

.

 

 

Билет 19

1 Вычисление длины дуги.Для того, чтобы получить формулы для вычисления длины дуги, вспомним выведенные в 1 семестре формулы для дифференциала длины дуги. Если дуга представляет собой график непрерывно дифференцируемой функции , дифференциал длины дуги можно вычислить по формуле

. Поэтому Если гладкая дуга задана параметрически , то . Поэтому .

Если дуга задана в полярной системе координат, то . Поэтому . Пример. Вычислить длину дуги графика функции , . . Пример. Вычислить длину кардиоиды .

 

 

2.

Линейная зависимость и независимость.Функции называются линейно независимыми, если (допустима только тривиальная линейная комбинация функций, тождественно равная нулю). В отличие от линейной независимости векторов здесь тождество линейной комбинации нулю, а не равенство. Это и понятно, так как равенство линейной комбинации нулю должно быть выполнено при любом значении аргумента. Функции называются линейно зависимыми, если существует не нулевой набор констант (не все константы равны нулю) , такой что (существует нетривиальная линейная комбинация функций, тождественно равная нулю).

Теорема. Для того чтобы функции были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы какая-либо из них линейно выражалась через остальные (представлялась в виде их линейной комбинации).Докажите эту теорему самостоятельно, она доказывается так же, как аналогичная ей теорема о линейной зависимости векторов.

Определитель Вронского.Определитель Вронского для функций вводится как определитель, столбцами которого являются производные этих функций от нулевого (сами функции) до n-1 го порядка.

.Теорема. Если функции линейно зависимы, то Доказательство. Так как функции линейно зависимы, то какая-либо из них линейно выражается через остальные, например,

. Тождество можно дифференцировать, поэтому . Тогда первый столбец определителя Вронского линейно выражается через остальные столбцы, поэтому определитель Вронского тождественно равен нулю.Теорема.Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы . Доказательство. Необходимость следует из предыдущей теоремы.Достаточность. Зафиксируем некоторую точку . Так как , то столбцы определителя, вычисленные в этой точке, представляют собой линейно зависимые векторы. , что выполнены соотношения

.

Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения является его решением, то можно ввести решение вида - линейную комбинацию решений с теми же коэффициентами. Заметим, что при это решение удовлетворяет нулевым начальным условиям, это следует из выписанной выше системы уравнений. Но тривиальное решение линейного однородного уравнения тоже удовлетворяет тем же нулевым начальным условиям. Поэтому из теоремы Коши следует, что введенное решение тождественно равно тривиальному, следовательно, , поэтому решения линейно зависимы.

 

Билет 20 1 Несобственные интегралы от разрывной функции по конечному промежутку (второго рода). Пусть функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= a, тогда несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется предел =

Пусть функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= b, тогда несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется предел = . Пусть функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= , тогда несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется = (интегралы в правой части определены выше). Если указанные пределы существуют и конечны, то интегралы называются сходящимися, если предел бесконечен или не существует вообще, то интеграл расходится. Если сходятся интегралы от функций , то сходятся интегралы от функций . Это следует из теорем о пределах. Признаки сравнения несобственных интегралов(достаточные признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов).

1 признак. Теорема.Пусть при выполнено неравенство . Если интеграл сходится, то и интеграл сходится. Если интеграл расходится, то и интеграл расходится. Доказательство. Проинтегрируем неравенство на отрезке , . Так как обе функции на отрезке имеют только положительные значения, то интегралы от этих функций представляют собой возрастающие функции от верхнего предела b. Если сходится ( = I), то при любом b > a = I (I – конечное число). Поэтому - монотонно возрастающая, ограниченная функция верхнего предела интегрирования b. Следовательно, по теореме Вейерштрасса этот интеграл как функция b имеет предел

, т.е. интеграл сходится.

Пусть теперь расходится. Если сходится, то по доказанному и сходится, противоречие. Теорема доказана.2 признак сравнения. Теорема.Пусть при x>a . Если существует конечный предел , то интегралы , , сходятся или расходятся одновременно (если один сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится).

Доказательство. Из определения предела следует .

Если интеграл сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл , а, следовательно, сходится интеграл . Если интеграл сходится, то сходится интеграл , а, следовательно, по первому признаку сравнения сходится интеграл . Пусть интеграл расходится. Если интеграл сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл , противоречие. Пусть интеграл расходится. Если интеграл сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл , противоречие. Теорема доказана.

Эталонами служат обычно интегралы Дирихле или интегралы от показательной функции.

 

2.Теорема о наложении частных решений.Пусть - решение неоднородного уравнения с правой частью , - решение неоднородного уравнения с правой частью . Тогда - решение неоднородного уравнения с правой частью .Доказательство. Подставим в неоднородное уравнение:

.По теореме о структуре решения неоднородного уравнения . Общее решение однородного уравнения мы строить умеем. Остается подобрать частное решение неоднородного уравнения по известной правой части. При этом можно воспользоваться доказанной теоремой. Если правая часть представляет собой сумму функций, то можно искать частные решения, соответствующие каждому слагаемому суммы, а затем сложить найденные частные решения.

 

Билет 21

1. 1 Вычисление объемов тел вращения.

Пусть требуется вычислить объем тела вращения вокруг оси OX.

Тогда .Аналогично, объем тела вращения вокруг оси OY, если функция задана в виде , можно вычислить по формуле .

Если функция задана в виде и требуется определить объем тела вращения вокруг оси OY, то формулу для вычисления объема можно получить следующим образом.

Переходя к дифференциалу и пренебрегая квадратичными членами, имеем . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, имеем .Пример. Вычислить объем шара .

 

2.

Теорема. Существует система из n линейно независимых векторов , удовлетворяющих соотношениям

.

Векторы - присоединенные векторы, порожденные собственным вектором , - кратность корня , сумма для различных корней равна n. Теорема.Каждому корню соответствует решений вида

……………………….

Для каждого кратного корня надо найти присоединенные векторы по первой теореме и построить решения по второй теореме.Если порядок системы мал, то можно действовать проще. Пусть матрица для корня, кратности r будет иметь ранг n-r. Это означает, что для данного корня можно подобрать r линейно независимых собственных векторов и, соответственно, r линейно независимых решений вида в фундаментальной системе решений.

Билет 22

1 Вычисление длины дуги.

Для того, чтобы получить формулы для вычисления длины дуги, вспомним выведенные в 1 семестре формулы для дифференциала длины дуги. Если дуга представляет собой график непрерывно дифференцируемой функции , дифференциал длины дуги можно вычислить по формуле . Поэтому Если гладкая дуга задана параметрически , то

. Поэтому . Если дуга задана в полярной системе координат, то . Поэтому .

Пример. Вычислить длину дуги графика функции , . .

2.

В случае кратного действительного корня одно из решений можно выбрать в форме . Второе решение будем выбирать в виде . Подставим в дифференциальное уравнение, чтобы определить . ,

Так как k - корень характеристического уравнения, то . Так как k еще и кратный корень, то по теореме Виета . Поэтому . Для определения имеем уравнение , отсюда . Выберем , получим . Следовательно, . Решения линейно независимы, так как . Поэтому общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратного корня можно записать по формуле .

 

 

Билет 23

1 1 Вычисление объемов тел вращения.

Пусть требуется вычислить объем тела вращения вокруг оси OX.

Тогда .Аналогично, объем тела вращения вокруг оси OY, если функция задана в виде , можно вычислить по формуле .

Если функция задана в виде и требуется определить объем тела вращения вокруг оси OY, то формулу для вычисления объема можно получить следующим образом.

Переходя к дифференциалу и пренебрегая квадратичными членами, имеем . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, имеем .Пример. Вычислить объем шара .

 

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 74; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты