Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»).

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существует , что (или ).Геометрически, смысл этого соотношения состоит в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой .Доказательство. По второй теореме Вейерштрасса функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своей верхней и нижней грани. По теореме об оценке , откуда, деля на , получим

. По второй теореме Больцано – Коши функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем все промежуточные значения между m и M. В частности, существует и такая точка , в которой функция принимает свое промежуточное значение , т.е.

2) Среди корней характеристического уравнения имеется простая пара комплексно сопряженных корней .

Справедливо утверждение, которое мы примем без доказательства: простой паре комплексно сопряженных корней соответствует пара комплексно сопряженных собственных векторов .

Запишем формально соответствующую пару решений:

Эти решения комплексные. Вместо них мы (по линейности и теоремам о свойствах решений) можем взять решения Общее решение можно записать в виде:

..

Пример. .

Билет 3

1Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть функция непрерывна на отрезке - некоторая первообразная функции . Тогда . Доказательство. Из теоремы о производной интеграла по переменному верхнему пределу следует, что , т.е. - первообразная для функции . По теоремам о первообразных две первообразных отличаются на константу т.е. Но (свойство 4 определенного интеграла), поэтому . Тогда . Следовательно, .

Формула Ньютона – Лейбница - это одна из немногих формул - связок, связывающих различные разделы математики воедино. Если бы не было формулы Ньютона – Лейбница, то неопределенные интегралы не нашли бы приложения, а определенные интегралы нельзя было бы вычислить аналитически. Именно эта формула делает интегральное исчисление важнейшим инструментом исследования процессов. Любой процесс описывается дифференциальными или интегральными уравнениями, а они решаются в интегралах.

Мы встречались с такими формулами или теоремами – связками. Например, теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой связывает бесконечно малые и пределы. Теорема Ферма и ее следствия – теоремы о средних значениях связывают дифференциальное исчисление и теорию экстремума. В дальнейшем мы тоже будем встречаться с теоремами – связками, они всегда играют фундаментальную роль, например теоремы Остроградского – Гаусса и Стокса в векторном анализе.