Метод вариации произвольной постоянной.

Общее решение однородной системы можно записать в виде , где - фундаментальная матрица системы, - вектор произвольных постоянных.

Будем искать решение неоднородной системы в том же виде, варьируя вектор произвольных постоянных: .Вычисляем производную и подставляем в уравнение неоднородной системы: , , Так как фундаментальная матрица удовлетворяет уравнению однородной системы, то . Поэтому в предыдущем уравнении (как и всегда в методе вариации) сокращается пара слагаемых. Получаем уравнение . Так как фундаментальная матрица не вырождена ( ), то отсюда получаем уравнение для определения вектора :

.Интегрируя, получаем (здесь предполагается, что при вычислении интеграла вектор констант не добавляется, он уже добавлен в виде вектора ).Подставляя в , имеем ( ) .Здесь в полном соответствии с теоремой о структуре общего решения неоднородной системы первое слагаемое представляет собой общее решение однородной системы, а второе слагаемое – частное решение неоднородной системы.

Билет 13