Нормальные системы дифференциальных уравнений.

Система дифференциальных уравнений – это система уравнений относительно независимой переменнойx, функций этой переменной и их производных . Система может быть записана в общем виде

( )=0

....................................................................

( )=0

Порядок этой системы равен .

Пользуясь теоремой о неявной функции, можно разрешить систему уравнений относительно старших производных и записать ее в каноническом виде:

( )

..................................................................................

( )

Задача Коши.Найти решение системы , удовлетворяющее заданным начальным условиям .

Теорема Кошио существовании и единственности решения задачи Коши

Пусть функция непрерывна по совокупности переменных. Пусть существуют и непрерывны частные производные Тогда существует и единственно решение задачи Коши.Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно независимой переменной, неизвестной функции и ее производных.Дифференциальное уравнение общего вида выглядит следующим образом:

. Здесь x – независимая переменная, y(x) – неизвестная функция.Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.Дифференциальное уравнение n – ого порядка в общем виде записывается так: .Дифференциальное уравнение n – ого порядка в виде, разрешенном относительно старшей производной, выглядит так:

.Решением дифференциального уравнения n – ого порядка называется функция , обращающая его в тождество.Общим решением дифференциального уравнения n – ого порядка называется функция такая, что

Билет 41 Задача о площади криволинейной трапеции.Рассмотрим криволинейную трапецию, образованную отрезком оси OX (основание трапеции), прямыми (на них лежат боковые стороны трапеции) и графиком функции . Так как график функции – кривая линия, то такая трапеция называется криволинейноqй. Устроим разбиение отрезка точками . Обозначим . На каждом отрезке отметим точку . Вычислим . Обозначим - площадь части криволинейной трапеции над отрезком , S – площадь всей криволинейной трапеции. Тогда Пусть функция непрерывна на каждом отрезке . По второй теореме Вейерштрасса выполняется неравенство , где - нижняя и верхняя грани функции на отрезке . Тогда

Сумма называется интегральной суммой, суммы , называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу.Будем измельчать разбиение так, чтобы . Если существует предел интегральных сумм при неограниченном измельчении разбиения, то он называется определенным интегралом (по Риману) от функции по отрезку : .Если существуют пределы нижней и верхней сумм Дарбу при неограниченном измельчении разбиения, то они называются нижним и верхним интегралами Дарбу.Теорема существования определенного интеграла.Если подынтегральная функция y=f(x) непрерывна или кусочно - непрерывна на отрезке [a;b], то определенный интеграл заданной функции существует. Теорема принимается без доказательств. Критерий существования определенного интеграла. Для того, чтобы существовал определенный интеграл по Риману , необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны нижний и верхний интегралы Дарбу.Следствие.Если определенный интеграл существует как предел интегральных сумм, то он не зависит

- от выбора разбиения, лишь бы .от выбора отмеченных точек на элементах разбиения от способа измельчения разбиения, лишь бы . Поэтому (критерий Римана) для интегрируемости по Риману ограниченной на отрезке функции необходимо и достаточно, чтобы существовало некоторое конкретное разбиение отрезка, на котором для любого .Теорема. Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке. Теорема.Если функция кусочно непрерывна на отрезке (имеет на нем не более конечного числа разрывов первого рода), то она интегрируема на этом отрезке.Мы пришли к определенному интегралу от задачи о площади криволинейной трапеции. Если функция принимает на отрезке неотрицательные значения, то определенный интеграл можно интерпретировать как площадь под графиком функции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла. Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»).Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существует , что (или ).Геометрически, смысл этого соотношения состоит в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой . Доказательство. По второй теореме Вейерштрасса функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своей верхней и нижней грани. По теореме об оценке , откуда, деля на , получим . По второй теореме Больцано – Коши функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем все промежуточные значения между m и M. В частности, существует и такая точка , в которой функция принимает свое промежуточное значение , т.е.

2 Метод вариации произвольной постоянной.

Общее решение однородной системы можно записать в виде , где - фундаментальная матрица системы, - вектор произвольных постоянных.

Будем искать решение неоднородной системы в том же виде, варьируя вектор произвольных постоянных: . Вычисляем производную и подставляем в уравнение неоднородной системы:

,

,

Так как фундаментальная матрица удовлетворяет уравнению однородной системы, то . Поэтому в предыдущем уравнении (как и всегда в методе вариации) сокращается пара слагаемых. Получаем уравнение

. Так как фундаментальная матрица не вырождена ( ), то отсюда получаем уравнение для определения вектора : .

Интегрируя, получаем

Подставляя в , имеем

( ) .

Здесь в полном соответствии с теоремой о структуре общего решения неоднородной системы первое слагаемое представляет собой общее решение однородной системы, а второе слагаемое – частное решение неоднородной системы.

Билет 5 1 Несобственные интегралы от непрерывной функции по бесконечному промежутку (первого рода).

Пусть отрезок числовой оси неограничен. Это возможно в трех случаях: . Определим несобственные интегралы как пределы , , . В последнем интеграле a и b независимо друг от друга стремятся к . Если , то предел в правой части последнего равенства называется главным значением несобственного интеграла.Если эти пределы существуют и конечны, то несобственные интегралы называются сходящимися. Если предел не существует или бесконечен, то такой несобственный интеграл называется расходящимся.

Если сходятся интегралы от функций , то сходятся интегралы от функций . Это следует из теорем о пределах.

Признаки сравнения несобственных интегралов(достаточные признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов).1 признак. Теорема.Пусть при выполнено неравенство .

Если интеграл сходится, то и интеграл сходится.Если интеграл расходится, то и интеграл расходится.Доказательство. Проинтегрируем неравенство на отрезке , . Так как обе функции на отрезке имеют только положительные значения, то интегралы от этих функций представляют собой возрастающие функции от верхнего предела b. Если сходится ( = I), то при любом b > a = I (I – конечное число). Поэтому - монотонно возрастающая, ограниченная функция верхнего предела интегрирования b. Следовательно, по теореме Вейерштрасса этот интеграл как функция b имеет предел

, т.е. интеграл сходится.

Пусть теперь расходится. Если сходится, то по доказанному и сходится, противоречие. Теорема доказана.

2 признак сравнения. Теорема.Пусть при x>a . Если существует конечный предел , то интегралы , , сходятся или расходятся одновременно (если один сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится).

Доказательство. Из определения предела следует

. Если интеграл сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл , а, следовательно, сходится интеграл . Если интеграл сходится, то сходится интеграл , а, следовательно, по первому признаку сравнения сходится интеграл . Пусть интеграл расходится. Если интеграл сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл , противоречие. Пусть интеграл расходится. Если интеграл сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл , противоречие. Теорема доказана.

Эталонами служат обычно интегралы Дирихле или интегралы от показательной функции.

Пример. сходится по второму признаку сравнения, интеграл сравнения .Пример. сходится по первому признаку, интеграл сравнения .