Однородные уравнения I порядка

Определение. Уравнение вида называется однородным, если Р(х,у) и Q(х,у)- однородные функ­ции одного измерения. Функция F(х,у) называется однородной измере­ния m , если .

Оно приводится к виду . Где - однородная функция нулевой степени однородности. Однородное уравнение с помощью подстановки или у=uх, (у'=u'v+uv'), приводится к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой неизвестной функции u.

При этом , или .

Интегрируя получившееся уравнение с разделяющимися переменными, и, заменяя затем , находим искомое общее решение (общий интеграл) данного однородного уравнения.

Пример. Найти общий интеграл уравнения

Решение. Здесь , . Функции однородные второго измерения. Введем подставку у =их, тогда .

Данное уравнение примет вид: , или .

Разделяя переменные и интегрируя, имеем: , , ,.

Возвращаясь к прежней неизвестной функции y заменой "u" на , получаем , .

Пример. Проинтегрировать уравнение

Решение. Вначале устанавливаем, что данное уравнение - однородное:

,

затем заменяем функцию у. Полагая у = их, получим уравнение с разделяющимися переменными или .

Умножая обе ого части на . разделим переменные и интегрируем: , .

Потенцируя и исключая вспомогательную переменную "u", найдем искомый общий интеграл ; ; .