Решение уравнений на множестве комплексных чисел

1. Уравнения вида , где и .

- если , то уравнение имеет два действительных различных корня вида ;

- если , то уравнение имеет два действительных одинаковых корня вида ;

- если , то уравнение действительных корней не имеет. Но на множестве комплексных чисел уравнение имеет два комплексно-сопряжённых числа .

Пример. Решить уравнение

, ,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основные понятия дифференциальных уравнений

Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и её производные или дифференциалы различных порядков называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок стар­шей производной, входящей в данное уравнение. Например, уравнение - первого порядка; - второго порядка; - третьего порядка и т.д.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция у=у(х), удовлетворяющая этому уравнению. График решения на плоскости хОу называется интегральной кривой уравнения.

Процесс нахождения решения называется интегрированием диффе­ренциального уравнения.

Если решение уравнения получено в неявном виде , то оно обычно называется интегралом уравнения.

Задача Коши для уравнения

(1)

ставится следующим образом. Среди всех решений уравнения (I) требуется найти решение у=у(х), для которого функция у(х) вместе со своими производными до (n-I)-ro порядка включительно принимает заданные значения , при заданном значении аргумента , т.е.

(2)

где - заданные числа.

Условия (2) называются начальными условиями решения у=у(х), а само это решение - частным решением уравнения (I), удовлетворяющим начальным условиям (2).

Общее решение уравнения (I) - это решение вида , зависящее от произвольных постоянных C₁,C₂, …, С_n , которые можно подобрать таким образом, чтобы удовлетворить любой системе на­чальных условий.

Частное решение уравнения (I) может быть получено из общего ре­шения при некоторых числовых значениях произвольных постоянных