Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

6.1. Уравнение вида

Уравнение вида решается последовательным - кратным интегрированием правой части. При каждом интегрировании имеем одно произвольное постоянное, а в окончательном результате "n" произвольных постоянных.

Пример. Найти общее решение уравнения и выделить частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у(1)=2, y'(1)=1/2, y"(1)=3/2.

Решение.

I) Последовательно интегрируя данное уравнение, имеем: , , - общее решение

II) Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. С этой целью найдем значения C₁, C₂ и С₃ , подставляя в систему равенств:

, ,

откуда C₁ =2, С₂ =-2, С₃ = 3.

Искомое частное решение получаем, подставляя найденные значения произвольных постоянных в формулу общего решения:

, или

6.2. Уравнения вида ,