Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Метод вариации произвольных постоянных




Более общим методом решения линейного неоднородного уравнения (1) является метод вариации произвольных постоянных.

Пусть у1 и у2 - линейно независимые частные решения однородного
уравнения (2). Тогда общее решение неоднородного уравнения (1) следует искать в виде (4)

где функция А1(x) и А2(x) определяются из системы уравнений

(5)

Решая систему алгебраических уравнений (5), находим

, , (6)

где (7)

- определитель Вронского, составленный для решений у1 и у2.

Интегрируя равенства (6) получаем

, (8)

откуда, подставляя найденные функции и в соотношение (4) получим общее решение двойного неоднородного уравнения (1).

Пример. Найти общее решение уравнения

Решение. В данном случае частное решение уравнения методом неопределенных коэффициентов найти нельзя, так как в отличие от предыдущего, правая часть уравнения представляет собой функцию другой структуры. Поэтому для нахождения общего решения уравнения восполь­зуемся методом вариации произвольных постоянных.

Соответствующее однородное уравнение , характеристическое уравнение , имеет корни .

Следовательно, и - два линейно независимых частных решения однородного уравнения, и общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде (*), где функции и определяются из системы уравнений вида (5):

Решая эту систему по формулам (8), находим

,

.

Интегрируя полученные равенства, имеем

Подставляя, и в соотношение (*), находим общее решение дан­ного уравнения:


Поделиться:

Дата добавления: 2015-09-14; просмотров: 137; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.011 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты