Метод вариации произвольных постоянных

Более общим методом решения линейного неоднородного уравнения (1) является метод вариации произвольных постоянных.

Пусть у₁ и у₂ - линейно независимые частные решения однородного
уравнения (2). Тогда общее решение неоднородного уравнения (1) следует искать в виде (4)

где функция А₁(x) и А₂(x) определяются из системы уравнений

(5)

Решая систему алгебраических уравнений (5), находим

, , (6)

где (7)

- определитель Вронского, составленный для решений у₁ и у₂.

Интегрируя равенства (6) получаем

, (8)

откуда, подставляя найденные функции и в соотношение (4) получим общее решение двойного неоднородного уравнения (1).

Пример. Найти общее решение уравнения

Решение. В данном случае частное решение уравнения методом неопределенных коэффициентов найти нельзя, так как в отличие от предыдущего, правая часть уравнения представляет собой функцию другой структуры. Поэтому для нахождения общего решения уравнения восполь­зуемся методом вариации произвольных постоянных.

Соответствующее однородное уравнение , характеристическое уравнение , имеет корни .

Следовательно, и - два линейно независимых частных решения однородного уравнения, и общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде (*), где функции и определяются из системы уравнений вида (5):

Решая эту систему по формулам (8), находим

,

.

Интегрируя полученные равенства, имеем

Подставляя, и в соотношение (*), находим общее решение дан­ного уравнения: