КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Метод вариации произвольных постоянныхБолее общим методом решения линейного неоднородного уравнения (1) является метод вариации произвольных постоянных. Пусть у1 и у2 - линейно независимые частные решения однородного где функция А1(x) и А2(x) определяются из системы уравнений (5) Решая систему алгебраических уравнений (5), находим , , (6) где (7) - определитель Вронского, составленный для решений у1 и у2. Интегрируя равенства (6) получаем , (8) откуда, подставляя найденные функции и в соотношение (4) получим общее решение двойного неоднородного уравнения (1). Пример. Найти общее решение уравнения Решение. В данном случае частное решение уравнения методом неопределенных коэффициентов найти нельзя, так как в отличие от предыдущего, правая часть уравнения представляет собой функцию другой структуры. Поэтому для нахождения общего решения уравнения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Соответствующее однородное уравнение , характеристическое уравнение , имеет корни . Следовательно, и - два линейно независимых частных решения однородного уравнения, и общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде (*), где функции и определяются из системы уравнений вида (5): Решая эту систему по формулам (8), находим , . Интегрируя полученные равенства, имеем
Подставляя, и в соотношение (*), находим общее решение данного уравнения:
|