Рост выпуска в условиях конкуренции

В этой модели мы не будем предполагать, что рынок не насыщается. Пусть убывающая функция, т.е. с увеличением объема продукции на рын­ке цена на нее падает: . Теперь из формул (1) - (3) мы получаем не­линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно Q с разделяющимися переменными:

, (5)

Поскольку все сомножители в правой части этого уравнения положительны, то , т.е. функция Q(t) возрастающая. Характер возрастания функции определяется ее второй производной. Из уравнения (5) получаем

(6)

Это равенство можно преобразовать, введя эластичность спроса , откуда , так как , и, значит, , окончательно получаем

(7)

Из уравнения (7) следует, что при эластичном спросе, т.е. когда |Е|>1, Q">0 и график функции Q(t) имеет направление выпуклости вниз, что означает прогрессирующий рост; при неэластичном спросе E<1, Q"<0 - направле­ние выпуклости функции Q(t) вверх, что означает замедленный рост (насы­щение). Для простоты рассуждений примем зависимость P(Q) (рис. 1) ввиде линейной функции , (8)

Тогда уравнение (5) имеет вид (9)

Откуда

(10)

Из соотношений (9) и (10) получаем: при Q = 0 и при , , при и , при , - точка перегиба графика функции . Приведенный на рис.2 график этой функции [одной из ин­тегральных кривых дифференциального уравнения (9)] носит название логи­стической кривой.

Аналогичные кривые характеризуют и другие процессы, например распространение информации (рекламы), размножение бактерий в ограниченной среде обитания, динамику эпидемий внутри ограниченной общности биологических организмов и др.

Пример.

Найти выражение для объема реализованной продукции Q=Q(t),если извест­но, что кривая спроса P(Q)=2-Q, норма акселерации 1/L=2, норма инвести­ций т =0,5, Q(b) =0,5.

Решение.

Уравнение (5) в этом случае принимает вид .

Или .

Разложим левую часть д.у. на рациональные дроби:

. , .

, , .

Учитывая, что Q(0) = 0,5. получаем, что С= -3. Выражая теперь Q, оконча­тельно имеем: .

, , , ,

График данной функции схематично изображен на рис.3 (В данном случае эластичность спроса задается функцией E=(Q-2)/Q и условие , определяющее положение точки перегиба на кривой, дает )