Динамическая модель Кейнса

Рассмотрим простейшую балансовую модель, включающую в себя ос­новные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Пусть Y(t), E(t), S(t), I(t) - соответственно национальный доход, государст­венные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматри­ваются как функции времени t. Тогда справедливы следующие соотношения:

(1)

где a (t) - коэффициент склонности к потреблению ; b(t) - автономное (конечное) потребление; k(t) - норма акселерации. Все функции, входящие в уравнения (1), положительны.

Поясним смысл уравнений (1). Сумма всех расходов должна быть рав­ной национальному доходу - этот баланс отражен в первом уравнении. Общее потребление состоит из внутреннего потребления некоторой части национального дохода в народном хозяйстве плюс конечное потребление - эти составляющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер инвести­ций не может быть произвольным, он определяется произведением нормы акселерации, величина которой характеризуется уровнем» технологии и ин­фраструктуры данного государства, на предельный национальный доход. Будем полагать, что функции a(t), b(t), k(t) и E(t) заданы - они являются ха­рактеристиками функционирования и эволюции данного государства. Требу­ется найти динамику национального дохода или Y как функцию времени t. Подставим выражений для S(t) из второго уравнения и I(t) из третьего урав­нения в первое уравнение.

,

После приведения подобных получаем дифференциальное неоднородное линейное уравнение первого порядка для функции Y(t):

(2)

Существует достаточно сложная формула общего решения этого уравнения. Мы проанализируем более простой случай, полагая основные параметры за­дачи а, b и k постоянными числами. Тогда уравнение (2) упрощается до случая линейного дифференциального уравнения первого порядка с посто­янными коэффициентами:

(3)

Решим данное уравнение, введя подстановку: , . Тогда уравнение (3) примет вид: , введем замену переменной: , .

, ;

1) , , , .

2) , , ,

3) , , вернемся к подстановке: .

(5)

Интегральные кривые уравнения (3) показаны на рис. 4. Если в начальный момент времени , то и кривые уходят вниз от равновесного решения (3), т.е. национальный доход со временем падает при заданных параметрах задачи а, b, k и Е, так как показатель экспоненты в (4) положителен. Если же , то и национальный доход растет - интегральные кривые уходят вверх от равновесной прямой Y=Yp. Для автономного дифференциального уравнения (3) стационарная точка (4) является точкой неустойчивого равновесия.