Задача 2. Доход Y(t), полученный некоторой фирмой к моменту времени t некоторой отраслью, складывается из инвестиций I(t) и величины потребления C(t)

Доход Y(t), полученный некоторой фирмой к моменту времени t некоторой отраслью, складывается из инвестиций I(t) и величины потребления C(t), т.е.

(1).

Будем предполагать, что скорость увеличения дохода пропорциональна величине инвестиций, т.е.

(2),

где b - коэффициент капиталоемкости прироста дохода.

Рассмотрим поведение функции дохода Y(t) в зависимостиот функции C(t).

Пусть C(t) представляет фиксированную часть получаемого дохода: , где m - норма инвестиций. Тогда из (1) и (2) получаем

. (3)

В ряде случаев вид функции потребления C(t) бывает известен (из некоторых дополнительных соображений).

Пример 2.

Найти функцию дохода , если известно, что величина потребления задается функцией ; коэффициент капиталоемкости прироста дохода , .

Решение.

Из соотношений (1) и (2) имеем уравнение , т.е. функция дохода удовлетворяет линейному неоднородному уравнению первого порядка. Будем искать решение в виде .

Тогда имеем , . . Значение постоянной С находим из начальных условий: поскольку , то С=1. Окончательно имеем .