Метод неопределенных коэффициентов

Если правая часть уравнения (1) имеет вид:

, то частное решение уравнения (1) может быть найдено в виде: (3)

где - многочлены соответственно n-ой, r-ой и s- ой степеней, причем s - наибольшая из степеней n и r. Число m – кратность как корня характеристического уравнения (2).

Для того чтобы найти коэффициенты многочленов и искомое частное решение (3) подставляют левую часть дифференциального уравнения (1) и производят соответствующие упрощения; затем в полученном тождестве приравнивают коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях, что дает систему линейных уравнений отно­сительно искомых коэффициентов, в которой определяют эти коэффи­циенты.

Укажем вид для некоторых частных случаев:

1) если , то , где m - кратность - как корня характеристического уравнения.

2) если , то , где m - кратность - как корня характеристического уравнения.

3) если , то , где m - кратность - как корня характеристического уравнения.

Отметим также, что если , то , где - частные решения уравнений вида (1) и соответственно.

Пример. Найти общее решение уравнения .