Решение. 1. Найдем общее решение у соответствующего однородного уравнения

1. Найдем общее решение у соответствующего однородного уравнения . Решая отвечающее ему характеристическое уравнение , получаем корни . Следовательно, .

2. Перейдем к отысканию частного решения данного уравнения. Здесь правая часть имеет вид (3): . Так как не является корнем характеристического уравнения, то m=0. Следо­вательно, частное решение нужно искать в виде, где А, В и С - некоторые коэффициенты, подлежащие определению. Для их отыскания воспользуемся тем, что должно быть решением дан­ного уравнения. Найдем и :

теперь подставим выражения для и в данное уравнение:

Сокращая обе части полученного равенства на e^x и группируя члены при одинаковых степенях х, в результате получим

Это равенство выполняется тождественно только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях х, в обеих его частях равны меж­ду собой. Итак, для отыскания коэффициентов А, В и С имеем следующую систему уравнений:

Таким образом, .

Теперь можно записать общее решение данного уравнения:

Дифференцируем обе части последнего равенства:

Подставив начальные условия, получаем систему двух уравнений относительно С₁ и С₂.

Следовательно, - искомое частное решение.