Система дифференциальных уравнений

Определение. Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, в каждое из которых входят независимая переменная, иско­мые функции и их производные.

Нормальной системой дифференциальных, уравнений называют систему вида: , где - неизвестные функция переменной x.

Если правые части нормальной системы дифференциальных уравне­ний являются линейными функциями относительно ,то система дифференциальных уравнений называется линейной.

Рассмотрим на примерах решение нормальных систем методом исклю­чения.

Пример. Найти общее решение системы:

Решение. Дифференцируем первое уравнение по x: (*)

Из второго уравнения: значение подставляем в уравнение (*) . Решаем получившееся линейное однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами:

→ ,

Используя первое уравнение системы, находим .

Ответ:

Пример. Найти общее решение системы:

Решение. Дифференцируем по х уравнение (1):

Подставим в уравнение (*) выражение из уравнения (2):

(**)

Выразим из уравнения (1) у₂: (***)

и подставим в (**). Получаем уравнение

Решая его, находим: .

Далее, подставляя , в уравнение (***), находим

Ответ:

ЗАМЕЧАНИЕ. Существуют и другие способы решения нормальных систем дифференциальных уравнений.