Линейные уравнения I порядка

Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линей­но (т.е. первой степени) относительно искомой функции у и её про­изводной y' .

Общий вид линейного уравнения

у'+Р(х)у=Q(х) (1).

Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными, если искомую функцию у заменить произведением двух вспомогательных функций u и v , т.е. положить . Тогда и данное уравнение (1) примет вид (2)

Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций, например v можно выбрать произвольно, подберем ее так, чтобы выражение в квад­ратных скобках обратилось в нуль, т.е. в качестве v возьмем одно из частных решений уравнения с разделяющимися переменными

Подставлял выражение в уравнение (2), получаем урав­нение относительно функции u:

, (3)

которое также является уравнением с разделяющимися переменными. Най-дя общее решение уравнения (3) в виде получив общее решение линейного уравнения (1):

Пример. Найти общее решение уравнения

Решение. Данное уравнение является линейным, так как оно со­держит искомую функцию у и её производную у' в первой степени и не содержит их произведений.

Применяем подстановку , где u и v - некоторые неизвестные функции аргумента х. Если , то и данное уравнение примет вид или (1)

Taк как искомая функция представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произ­вольно. Выберем функцию v так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т.е. выберем функцию v так, чтобы имело место равенство

(2)

При таком выборе функции уравнение (1) примет вид

(3)

Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными отно­сительно u и x.

Решим это уравнение

, , , , ,

(Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для просто­ты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С = 0). Подста­вив в (3) найденное выражение для v, получим: , , , . Интегрируя, получаем

Тогда - общее решение данного уравнения.