КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Общего и частного решения дифференциального уравненияГеометрически общее решение представляет множество интегральных кривых на плоскости ХО Y, а частное решение - какую-либо конкретную кривую, выделенную из этого множества при заданных начальных условиях. Пример. Для дифференциального уравнения ху'-у = 0 ,у = сх общее решение - это семейство прямых проходящих через начало координат (рис.1) Если взять х=2,у=4 , т.е точку (2,4) то можно найти уравнение конкретной прямой из множества , проходящей через заданную точку. Рассмотрим систему: 4=2с, с=2 Подставив с=2 в выражение у=сх, получим у=2х частное решение уравнения - уравнение прямой, проходящей через точку (2,4) Пример. уу'+х=0,
Общее решение это множество окружностей, c центром в начале координат и имеющих радиус, равный с (рис.2) Если взять х=3 , у=4 до получим 9+16=с2, с2=25 ,с=5 и уравнение окружности проходящей через точку (3,4) запишется х2+у2=25 - это частное решение заданного д.у.
Замечание. Встречаются дифференциальные уравнения, имеющие решения, которые не получаются из общего решения ни при каких значениях произвольных постоянных. Такие решения называют особыми. Например, проверкой можно убедиться, что уравнение имеет общее решение , в то же время у = 1 тоже является решением этого уравнения, но это решение не может быть получено из общего решения ни при каких С. У = 1 - особое решение. Графиком особого решения является интегральная кривая, которая в каждой своей точке имеет общую касательную с одной из интегральных кривых общего решения. Такая кривая называется огибающей семейства интегральных кривых.
3. Экономические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
|