Неоклассическая модель роста

Пусть - национальный доход, где F — однородная производст­венная функция первого порядка , К — объем капитало­вложений (производственных фондов), L — объем затрат труда. Введем в рассмотрение величину фондовооруженности k= K/L, тогда производитель­ность труда выражается формулой.

(6)

Целью рассматриваемой задачи является описание динамики фондовооруженности или представление ее как функции от времени t. Поскольку любая модель базируется на определенных предпосылках, нам нужно сделать некоторые предположения и ввести ряд определяющих параметров. В данном случае будем полагать, что выполняются следующие предположения:

1) имеет место естественный прирост во времени трудовых ресурсов

(7)

2) инвестиции расходуются на увеличение производственных фондов и на амортизацию, т.е.

(8)

где — норма амортизации. Тогда, если l — норма инвестиций, , или (9)

Из определения фондовооруженности k вытекает, что .

Дифференцируя это равенство по t, имеем: .

Подставив в полученное равенство выражения (7) и (9), получаем уравне­ние относительно неизвестной функции k:

(10)

где определена по формуле (6).

Полученное соотношение (10) представляет собой нелинейное дифференци­альное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, которое является автономным. Выделим стационарное решение этого уравнения, из условия k^' = 0 следует, что

(11)

т.е. k_st = const — постоянная величина, являющаяся корнем этого нели­нейного алгебраического уравнения.

Рассмотрим конкретную задачу: для производственной функции найти интегральные кривые уравнения (10) и стационарное решение.

Из (6) следует, что , и тогда уравнение (10) имеет вид

(12)

Стационарное решение этого автономного уравнения следует из равенства , откуда получаем ненулевое частное решение уравнения (10): .

Дифференциальное уравнение (12) решаем методом разделения переменных: .

Интегрируя это уравнение с заменой переменной , получаем его общее решение в окончательном виде

(13)

Семейство интегральных кривых сходится сверху и снизу к стационар­ному решению (рис. 5): т.е. при . Следовательно, при неизмен­ных входных параметрах задачи l, α, β функция фондовооруженности ус­тойчиво стремится к стационарному значению независимо от начальных ус­ловий. В таком случае говорят, что является точкой устойчивого рав­новесия.